Ｆｏｒｍａｌ ｓｃｉｅｎｃｅ：シンボルと理論的規則による抽象的構造の形式体系の科学－推論から組み立てられる知識
▢▢▢ 話題 ▢▢▢
形式主義で形式は、オブジェクトの形状・外観・構成であり、あるいは、より広い感覚で定められた何かの方向や発生です
数学の哲学で形式主義が数学と論理学の命題の見解であり、確立した推論規則を使用する文字列の操作の結果の命題でした
形式科学は、象徴と理論的規則から行動と反応に基づき組立てられ、応用科学で現実へ移し換えて役立つことを証明します
象徴論理学・尺度・変数・付与が人間思考の全ての産物を含みました、異なる現象の理論的関連の作成のために手伝います
人は、時々、現実と混同する理論的システムの間違いを作り、モデルが完全に現実を意味せず、理論的表現の良い例でした
▢▢▢ 形式 ▢▢▢
形式で形式科学は、行動と反応に基づきシンボルと理論的規則から組立てられた形式システムに関心を持つ知識の分野です
形式科学の原則が頻繁に応用科学の使用を通じて現実性へ移し換えることを可能にして非常に役に立つことを証明しました
問題点は、主観で取り扱う時に現れ、例えば、計算機が感情を硬く掴み、貴方ではなく包みをほどく定義について可能です
ほどんどの古代テキストで科学的公式化（系統的論述）の前に始まり、形式科学は、長い時間で数学へ大きく貢献しました
理論的表現が人間思考の全ての産物を含みます、人々は、時々、現実と混同される理論的システムの間違いを作成しました
▢▢▢ 形式科学 ▢▢▢
形式科学で論理学は、妥当で有効な推測と論証の原理・原則が研究されます、整合性・堅実性・完全性だけではありません
けれども、形式科学のコースのモデルは、現実を意味せず、代表するならばとして実世界に関連の無い手段を意味しません
推測の形式的体系と自然言語の独立変数の研究から言説と議論の構造を調査しました、一般に論理学を議論学で使用します
例えば、ほとんどの論理（ロジック）のシステムで「パースの法」（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ）は、証明された定理でした
論理的公式が証明として離散構造で提示されます、有限木、あるいは、より一般的に有向非巡回グラフ構造を形作りました
▢▢▢ 論理学 ▢▢▢
論理学（哲学）で抽象化は、オブジェクトから特定の目的に合致している情報だけを選んで形作られたアイデアの方法です
共通の特徴を認識して表象を形成する概念プロセスと関連しました、概念システムから導き出された一般化のアイデアです
オブジェクトにある構造として現実世界の注目すべき要素の違いを認識できて明確にする人間の精神の思考プロセスでした
計算機科学で抽象化が複雑な制御やデータの機能や処理における一般化プロセスです、必ずしも「正確」を求められません
多くの異なる場所と時間にある抽象化のアイデアであり、社会理論で抽象化がプレディケートを把握するために必要でした
形式科学で数学は、数量・構造・空間、そして、変化のような概念へ焦点を合わせる知識の分野として様々に定義されます
数学者がパターンにある外の事柄を捜して新しい予想を述べました、選ばれた公理と定義で厳格な演繹の真実を確立します
数学の最古の使用は、取引、測定、絵画、織物、時間の記録であり、より複雑な数学が紀元前３０００年頃まで現れません
「数」と「点」のような数学的オブジェクトで知られる存在は、自然に実在しているか人間の創造であるか論争の的でした
必然的結論を引き出す科学の数学（パース）と数学の法則が現実に言及する限り確かではありません（アインシュタイン）
▢▢▢ 数学 ▢▢▢
数学でイデアルは、半群（結合法則と二項演算の集合に基づく代数的構造）の特別な部分集合として現れる数学的概念です
環論でイデアル（理想）が抽象代数で考慮されるリング（環）の特別な部分集合でした、整数の重要な特性を一般化します
順序理論でイデアルは、順序（有理数Ｆの有限次元Ｒ）の下位集合にある特別な性質の部分的位数集合の直感的概念でした
集合論でイデアルが小さい（全てのオブジェクト、単一よりも可解）／無いに等しいと見なされる集合のコレクションです
リー代数でイデアルは、リー代数（無限小変換の代数的構造）の特有（評価の主体における外延の一部）の部分集合でした
数学で代数学は、演算・関連・構成の規則と項・係数・多項式・方程式を含む代数的構造に起因する概念に関する研究です
演算の異なる規則を使用するとき、そして、演算を数から他の何かのために考案するとき、発生することが研究されました
加法と乗法は、一般化することを可能にします、そして、的確な定義が構造（例えば、体・環・群の理論）へ案内しました
幾何学的代数学（通例のライン）は、ギリシア人によって創設され、アルジェブラ（回復・修復）がアラビア語から来ます
フェルマーの最終定理は、方程式 ｘⁿ ＋ｙⁿ ＝ ｚⁿ で２よりも大きなｎの解が無い言明でした（無数にあるピタゴラス数）
▢▢▢ 代数学 ▢▢▢
代数学で抽象代数学は、代数的構造（例えば、代数・体・環・群・加群・ベクトル空間）を研究する数学の主体の領域です
「代数」と区別され、最近、「初等代数学」と区別が稀でした、現代数学と数理物理学は、抽象代数学を広範に使用します
抽象代数学は、プロパティとパターンの研究を容易にしました、一見、異種に見える数学的概念を共有によって保有します
例えば、関数合成ｆ（ｇ（ｘ））と行列乗法ＡＢの異なる演算の考慮は、実際、２つの演算が同じ構造を保有していました
ユニタルは、代数の全ての要素にある特性の要素です、条件としてリングを想定する群・多項式・行列の代数的構造でした
代数学でグループ理論は、グループとして知られる代数的構造の研究であり、「群」の概念が抽象代数学の中心の部分です
例えば、フィールド、リング、ベクトル空間は、全て加法的演算と公理で授けられるグループとして見ることも可能でした
線形代数的グループとリー群がグループ理論の２つの分岐です、様々な物理システムは、対称群としてモデル化できました
群論と密接な関連の表現理論は、物理学と化学の多くで応用され、２０世紀の最も重要な業績の１つが「共同の努力」です
キャラクター（指標）は、「群」から「体」まで関数の特別な一つ（例の複素数）として２つの区別が意味で重なりました
代数学でリング理論は、加法と乗法を定義できた整数の馴染みのある類似特性を有する環－代数的構造について研究します
幾何学「環」が２つの同心円の間で含まれた平面幾何学的フィギュアでした、対称多項式の構造と特に重要な対称関数です
プライム（素）は、リングの点です、そして、局在化が環、あるいは、似ている代数的オブジェクトを研究することでした
「体」の乗法演算は、可換のため必修です、その除法を環が可能であるけれども、可換性を想定しません（例の双四元数）
ユニット（単位）は、環の可逆要素、つまり、ｕｖ＝ｖｕ＝１R のｖとｕであり、（ユニタル）リングＲが可逆要素でした
代数学でフィールド理論は、加法・減法・乗法・除法の数学的実体の研究です（双線形ベクトル積で身支度する線形空間）
「体」を明らかに述べました、概念が方程式の解を導く数学の業績でアーベルとガロアを通じて暗黙のうちに使用されます
デデキントは、実数や複素数の集合を称しました（体の特性）、そして、「フィールド」の４算術演算の下で閉じられます
クロネッカーが「有理性のドメイン」と称する「こと」を定義しました、本当に近代数学の術語で多項式のフィールドです
ウェーバーは、抽象的フィールドの明瞭な定義を与え、シュタイニッツがフィールドの特性と理論を公理的に研究しました
代数学で線形代数は、ベクトル、ベクトル空間、線形写像、そして、一次方程式のシステムの研究について関心を持ちます
線形代数で関数が線形写像や線形変換と呼ばれました、度々、行列（マトリックス：生み出すもの）によって表現されます
要素的応用は、幾つかの未知数である一次方程式のシステムの解でした、Ｒ³ の原点を通過する「線」が線形部分空間です
ラインは、線形代数の研究の共通のオブジェクトであり、非線形の数学的モデルで一つの線形による近接を可能にしました
基本定理がベクトル空間の言明としてｍ×ｎ行列ＡとＬＤＵ因数分解ＰＡ＝ＬＤＵのランクｒの項で述べるかもしれません
代数学で多重線形代数は、線形代数の方式を拡張して正しくベクトルの概念で作られ、ベクトル空間の理論を発展させます
多重線形代数が「グラスマン代数」（外積代数）におけるｐ－ベクトルとマルチベクトルの概念のため新たに築かれました
多重線形関数の一般的な論議は、多重線形代数学を道案内します、ｎ次元のベクトル空間の考慮で複雑性が欠けていました
複素化は、形式的拡張スカラー乗法で獲得する複素数フィールドのベクトル空間Ｖᶜ であり、複素数による乗法を含みます
ペアリングが何かのＲ－双線形写像 ｅ：Ｍ×Ｎ→Ｌ（Ｒのユニティと３つのＲ－モジュール）であり、組合せの概念でした
代数学でリー代数は、ｇ：無限小変換の概念のため導入された代数的構造です、古いテキストで「無限小群」を使いました
現在、主に用いられているリー群と滑らかな微分多様体のような幾何学的オブジェクトを研究した代数的構造を参照します
ソフス・リーの後で「リー代数」の術語を１９３０年代にワイルが持ち出しました（純粋数学と理論物理学で主流に成る）
リー代数の代数的構造は、リーブラケットである二項演算［・，・］を有する幾つかのフィールドＦのベクトル空間ｇです
例えば、理論物理学の科学的研究がリー代数（リー・アルジェブラ）によって線を引きました（引き寄せる・引き当てる）
代数学で結合代数は、分配と結合の仕方のためベクトルの乗法が許し与えられるモジュール（構成単位・アーベル群）です
可換リングの代数の特例でした、時々、しかし、常にではなく、結合代数は、１を意味する乗法単位を持つため想定します
結合代数を作成するため明らかな余分にある想定として一つは、これらが結合ユニタル代数について称するかもしれません
結合性は、代数的構造の多くが結合のため二項演算を要求する陽関数表示（明らか）でした、数学で豊富な結合演算子です
規約ｖ² ＝Ｑ（ｖ）のようなクリフォード乗法の（＋）サイン慣行でＱは、ベクトル空間の方型的形（二次形式）Ｖでした
代数学で非結合代数は、結合法則を満たさないで行われる二項演算に対するそれらのインタレスティングな演算のことです
多くの重要な非結合で１つの共通の例がベクトル・クロス積でした、結合法則を満足しない集合Ｓにおける二項演算＊です
象徴的な幾つかのｘ，ｙ，ｚ∈Ｓに対する（ｘ＊ｙ）＊ｚ≠ ｘ＊（ｙ＊ｚ）でした、そのような評価の位数は、事柄でした
アソシエーターが［ｘ，ｙ，ｚ］＝（ｘｙ）ｚ－ｘ（ｙｚ）の仕方から与えられる多重線形写像Ｒ× Ｒ× Ｒ→Ｒのことです
恒等（アイデンティティ）は、様々に称しました、例えば、「メディアル」、オルタネーション、エントロピック、その他
代数学で普遍代数は、代数構造の例「モデル」ではない、それら自身によって代数構造が研究された数学のフィールドです
例えば、研究の対象として特有のグループを取得するよりも一つは、研究の対象として「グループの理論」を取得しました
１８９８年で発表されるホワイトヘッドの書籍による普遍的代数の項は、本質的に今日で持たれる同じ意味を持っています
当時、論理のブール代数で序数代数に対位法の強さ（ストロング）を作りました、普遍の項で緊張の感覚を穏やかにします
普遍代数でブール代数がタイプ＜２，２，１，０，０＞の＜Ｂ，＋，．，ｏｖｅｒｌｉｎｅ｛．．｝，１，０＞代数でした
代数学でブール代数は、集合演算と論理演算の本質的な特性を捉える分配的ラチス（格子：束論）の「補完」に言及します
ブール代数が種類の代数的構造を「冪集合のアルジェブラ」「集合のフィールド」の一般化で見えることを可能にしました
真理値のＴとＦを上手に扱う計算法であり、真理値に関する演算のモデルのため使用できる分配的ラチス（束）の補完です
ブールは、『論理の数理解析』で最初に代数システムを導入しました、公式化が幾つかで『思考の法則』の記述と違います
例えば、連言（結び）と選言（分離）は、演算の二元ペアではありません、同様に命題論理（文論理）へ親密な関係でした
代数学でホモロジカル代数（相同的代数）は、一般的代数のセッティングにおけるホモロジー（相同）について研究します
ホモロジー代数が抽象代数学で取り扱われ、組織して提案される同一のことであり、その面に関するカテゴリー理論でした
代数的技術のコレクションであり、代数的位相幾何学から端を発します、グループ理論と代数幾何学へ応用を見つけました
アーベル・カテゴリーは、ホモロジカル代数の最も一般的セッティングです、重要定理がヘビ補題と５項補題を含みました
トルシオン（ねじれ）の概念は、重要な役を演じます、ＭとＮが可換リングＲにあるモジュールならば、ファミリーでした
代数学でカテゴリー理論（圏論）は、数学的構造とそれらの間の関係について抽象的方向で取り扱う数学の分野の一つです
それぞれの集合と関数から「射／矢」を通じてダイアグラムで結び付けるオブジェクトまで抜粋（抽象）として現れました
カテゴリー理論の組織的研究が圏（カテゴリー）の公理から数学的構造タイプの何かの一般的な結果の証明を許し与えます
圏は、数学的実体とそれらの関係を記述する主な方法であり、あらゆる抽象的オブジェクトのコレクションから成りました
アーベル・グループのカテゴリーがオブジェクトです、アーベル・カテゴリーのプロトタイプであるカテゴリーＡｂでした
圏論でモルフィズム（射）は、２つの数学的構造の間で形式的に構造を保存する過程について抽象化したオブジェクトです
モルフィズムが数論で「相型」、写像で「同相写像」、圏論で「射」の参照でした、形式的にカテゴリー理論の「矢」です
一般的な射は、全射、単射、内射、外射、上射、下射、隠射、同型射、準同型射、自己同型射、そして、位相同型射でした
ゼロ・モルフィズムがゼロ・オブジェクトから／までそのような特性によって展示されるモルフィズムの特別なタイプです
１つのゼロ・モルフィズムは、カテゴリーＣで０を持つならば、２つのオブジェクトが与えられ、ＸとＹの何かの１でした
代数学でラチス理論（束論）は、あらゆる要素の一対が一つしかない最小上界と最大下界を持つ部分的位数集合の結果です
順序理論が数学的な順序の直観的な概念を把握するために様々な二項関係を研究する数学の分野であり、束論を含みました
何かのラチス（束）は、慣行から１と０を意味する最大限と最小限（結びと交わり）の要素で有界ラチスへ入れ替わります
補完ラチスがあらゆる要素を補完している有界ラチスでした、すなわち、ａ∨ｂ＝１とａ∧ｂ＝０を満足させる要素ｂです
単調関数は、順序を保存した単調（モノトーン）に増加する関数でした、厳密に言えば、左右の増加と中央で減少しません
代数学で順序理論は、数学的な順序に関する直観的な概念を理解するため様々な二項関係について研究する数学の分野です
前順序（準位数）が反射的で推移的な二項関係であり、例えば、全ての部分的位数と同値関係にあることを要求されました
位数（順序）は、集合や関連した構造の基数や要素の数として部分的位数集合です、あるいは、半順序集合に関連しました
順序集合Ｘ，Ｙが正しい位数タイプの同型的位数として双写ｆ：Ｘ→Ｙのｆと逆元の両方でモノトーンです（保存される）
ラムジー理論は、数学で順序の現れなければならない状況の研究であり、一般的に「形」の質問が義務として課されました
代数学で微分代数学は、デリベーション（導き出す：派生）や微分によって整えるフィールド・リング・アルジェブラです
微分体、微分環、微分代数が単一体関数（ユナリー関数）として線形でした、ライプニッツ積法則（積規則）を満たします
自然な例は、複素数の変数の一つである有理関数Ｃ（ｔ）のフィールドでした、ｔの尊重による微分のデリベーションです
デフォルマシオン理論が問題の解Ｐをわずかに異なる解Ｐε へ変形させて表現するために同伴する無限小条件の研究でした
超越関数は、多項式方程式を満たさない関数です、代数を「超越」した代数的演算の有限数列の項で表現を可能にしました
数学で数理解析（解析学）は、関数か数列の極限であるにせよ、「極限」の観念について関心を寄せる数学の主な分野です
解析学が代数学や幾何学と共に数学の三大分野でした、極限や収束の概念を取り扱い、最も基本的な部分の微分積分学です
収束は、連分数の切り詰めて数値を求める値の数列の一つでした、n ｔｈ収束が連分数の n ｔｈ接近として知られています
タイム・デリバティブは、現象の経過する文脈を明示するために変数へ尊重を持つ関数のデリバティブ ｙ＝ ƒ（ｘ）でした
数学的特異性が所定の数学的オブジェクトを定義できない点です、例えば、可微分性のため失敗する例外的集合の点でした
▢▢▢ 数理解析学 ▢▢▢
数理解析学で実解析は、実数の集合（実数と実数の関数）や特に収束を含む実［数］関数と数列の解析的特性を研究します
そして、実数の数列の極限（リミット）、実数の計算法・連続性・滑らかさ、実数値関数の関係にある特性で対処しました
極限の数学的概念が点を定義した以前のコーシー列の新しい点を定義する完全空間における何かのために１を許し与えます
循環小数（０．９９９…）の「ある実数」は、現象が整数基底で表れる複数桁ストリングでした（十進法の極限では無い）
振動は、数学で実数の数列や実数値関数のふるまいであり、収束や発散せず、極限に失敗します、量的測定でもありました
数理解析学でコーシー列は、数列の進行・進展として互いに更に近くなる要素の列であり、より先で殆ど値が変化しません
所定の正数は、数列の最初から幾つかの項を常に落として残る要素の何かの２つの間で最大距離がその数よりも小さいです
何かの正数を与えられ、数列の始まりから幾つかの項を常に省くことを可能にしました（実数論で最も基本的概念の一つ）
他の語で言い換えると、正実値 ε の前以ての付与の仮定は、選ばれます、しかしながら、小さな ε がそのようにありました
スタートから一つによる１つであり、有限数のステップの後で残る項から選ばれた一対は、互いに距離 ε の範囲内でしょう
数理解析学で複素解析は、複素数（ａ＋ｂｉの形で表される：実数ａ，ｂと虚数単位ｉ）の関数を調査する数学の分野です
数学者Ｍ・シュピーゲルが「数学の最も役に立つ分野と同様にビューティフルの１つ」として複素解析について記しました
解析関数の実数部と虚数部のためラプラスの方程式を満たさなければなりません、物理学で二次元問題へ広く適用できます
複素数は、形のａ＋ｂｉの数でａとｂの実数とｉの √－１であり、独立変数が平坦平面として複素数で作動する関数でした
リーマン表面は、形が損なわれた複素平面バージョンのような一次元複素多様体です、無限で点を加えるリーマン球でした
数理解析学で関数解析（汎関数解析）は、ベクトル空間の研究であり、それらに従属して行動する作用素へ関心を持ちます
関数 f がもう一つの量を測定する唯一の量の直観的発想の表現でした、作用素は、もう一つの関数のため作用する関数です
射影は、Ｐ² ＝Ｐのようなベクトル空間から対象に取り上げる物事まで線形変換Ｐとして不変のイメージが後へ残りました
畳み込みは、２つの関数ｆ・ｇの数値演算です（第三の関数を延長する）、ｆを並進してｇを重ね合わせる二項演算でした
非線形汎関数解析が非線形写像で対処する関数解析です、非線形システムは、重ね合わせ原則を満たさないシステムでした
数理解析学で非標準解析は、「無限小の数の厳格な観念」で明らかに表現する解析として「連続の法則」へ起源を遡ります
無限小が順序体Ｆとして絶対値で１／ｎの形の元（数学的要素）よりも小さなオブジェクトのため０サイズではありません
「トランスファー原理」は、超実数の応用と特に解析の難問（問題点）のため非標準解析（超準解析）と呼ばれていました
超実数が全体＊Ｒについて１＋１＋…＋１の形としてあらゆる数よりも大きな元を含み、無限大であり、逆数の無限小です
何人かは、非標準解析が標準的実解析（元来、実１変数実数値関数や実多変数実数値）よりも直観的であるとわかりました
数理解析学で調和解析は、基本的波（物理学でハーモニック）の重ね合せとして関数や信号（シグナル）の表現の研究です
フーリエ級数とフーリエ変換の概念を調査して一般化しました、「調和」が倍数の整数度数の原義を越えて一般化されます
過去の二世紀でハーモニックは、信号処理・量子力学・神経科学のような種々のエリアで応用され巨大な主体に成りました
Ｒⁿ の古典的フーリエ変換として特により一般的なオブジェクトのフーリエ変換に関して、まだ進行中の研究のエリアです
分布ｆに関して幾つかの必要条件を課すならば、翻訳の企てが可能であり、ｆのフーリエ変換の項における必要条件でした
数理解析学でフーリエ解析は、フーリエ級数の研究から生じた主題であり、Ｊ・フーリエの業績の名誉から名付けられます
一般的関数が単一な三角関数の総計で表現されたかもしれず、「熱波及を単純化した三角級数による関数を表現しました」
フーリエ解析の主体で巨大な分布範囲を含み、科学と工学でより単一の部品に関数を分解するプロセスへ頻繁に言及します
数学で科学と工学のフーリエ解析とフーリエ合成の演算であり、解析に使う変換は、対応する逆元変換を総合に用いました
フーリエ級数で単一振動関数の集合の総計へ周期関数に分解します、フーリエ合成が分解された部品から関数の再建でした
フーリエ解析で不確定性原理は、高い精度を求めるために連立方程式を知ることができない物理的特性の「特定の対」です
つまり、特性の一つで全くその通りの測定と他のより少なく全くその通りを測定できました、原理の明言です（ありさま）
特性の不確実性の積による最低限の実在でした（減らしたプランク定数ħ ＝ｈ／２π の半分の一つに等しいかより大きい）
原理の意味することで連立方程式の決意の不可能です（電子の位置と運動の両方、何かの大きな次数の粒子の精度や必然）
システムの数量を測定する調査者の力量の限界では無く、量子力学の方程式による記述としてシステムの性質の言明でした
数理解析学でｐ進解析は、ｐ進数（数論のために羃級数の方式の発想と技術をもたらす試み）の関数の解析を取り扱います
ｐ進数に関する複素数値の関数の理論が局所コンパクト群（位相的空間として局所コンパクト）の理論の正しい部分でした
通例は、インタレストである空間に関するｐ－進数値の関数の理論です、基本的に微積分学（計算法）の代わりの形でした
有理数の序数算術の外延から異なり実数・複素数システムへ引き伸ばされた何かの独立変数の素数ｐに対するシステムです
所定の素ｐに対してｐ進数の体Ｑp が有理数の完結化であり、感覚で全ての部分を含み、コーシー列が点まで収束しました
数理解析学で常微分方程式は、本質的に唯一つの変数である未知関数と導関数による等式によって定義した微分方程式です
「１つだけの独立変数の関数」と「変数の尊重による導関数（微分）の一つ以上」を通じて割り切れる関連へ案内しました
単純な例は、定数質量ｍの粒子の動きに対する運動のニュートンの第二法則 ｍｄ² ｘ（ｔ）／ｄｔ² ＝ｆ（ｘ（ｔ））です
力Ｆが時間ｔで粒子の位置ｘ（ｔ）に左右され、未知機能ｘ（ｔ）は、表記法ｆ（ｘ（ｔ））で示され、両側に現れました
位数ｎの何かの微分方程式は、ｎのシステムで記されます、常微分方程式が現れる最も高い導関数の位数で分類されました
数理解析学で偏微分方程式は、それぞれの変数の関数で部分的デリバティブ（導関数）が必然的に含まれる微分方程式です
常微分方程式は、頻繁にダイナミック・システム、そして、「偏微分方程式が頻繁に多次元システムをモデル化しました」
一見したところ異なる物理的現象は、同一の数学的公式化を持つかもしれません、同じダイナミクス（力学的）で治めます
関数ｕ（ｘ 1 ，…ｘ n ）、Ｆ（ｘ 1 ，…ｘ n ；ｕ，∂u／∂x 1 ，…∂u ／∂x n ；∂² u／∂x 1 ∂x 1 ，…∂² u ／∂x 1 ∂x n ；…）＝０
形Ｆがｕの線形関数（一次関数）とｕのｖ＋ｗで導関数、ｆ（ｖ）＋ｆ（ｗ）、ｕのｋｕでｋ・Ｆ（ｕ）を可能にしました
数学で確率理論は、ランダムな現象の分析に関心を寄せます、代表的な数学的結果である大数の法則と中心極限定理でした
ランダムなイベントの連続で幾度も繰り返されるならば、統計パターンを示します、研究／予測することを可能にしました
コルモゴロフ外延理論が保証する定理であり、「有限次元分布の十分に一貫したコレクションの確率過程の定義でしょう」
インデペンデンスは、より多くか他の現れるわずかな確率も無いことを意味する２つのイベントが直観的に独立しています
確率論は、様々な統計学的パラドックスが認識され、シンプソンのパラドックスや移行しないサイコロで知られていました
▢▢▢ 確率論 ▢▢▢
確率論で大数の法則は、多数の同じ実験の結果を記述する定理であり、結果による平均で期待値へ近づく傾向（収束）です
法則が多数の観測を考慮する場合に適用され、少数の観測値で期待値と一致する原則や値のバランスの原則ではありません
例えば、６面ダイスの１ロールは、数を等しい確率で生成しました、転がるサイコロの度に平均値３．５の精度の上昇です
しかし、例えば、コーシー分布やパレート分布（α<１）の結果の平均でｘが大きくなると裾の重い分布のため収束しません
大数の法則は、シーケンスの実現から未知の分布の期待値を回復するだけではなく、確率分布の特徴の回復に役立ちました
確率論で中心極限定理は、幾つかの状況で独立したランダム変数を加えるとき、適切な標準化の合計で正規分布の傾向です
正規分布で機能する確率的・統計的手法が他のタイプの分布を含む多くの問題に適用できるため確率論の重要な概念でした
例えば、実際の応用でランダムウォークに覆われる合計距離やコイン投げの表裏は、確率分布が正規分布へ向かう傾向です
しかし、例えば、正・負のそれぞれの領域に存在する確率よりも、どちらかの領域に多く存在しているより高い確率でした
ド・モアブル－ラプラスの定理は、特殊な例で正規分布が特定の条件から二項分布の近似として使用されるかもしれません
確率論でベイズの定理は、イベントに関連する可能性のある条件の事前知識に基づいたイベントの条件付き確率の記述です
観察が与えられた経験的確率の計算で主に使われ、２つのランダムなイベントの条件付き確率と周辺確率を関係づけました
例えば、受取人は、サインから観測できるかもしれず、提案された見立ての正確性の計算に用いられ、その観察を与えます
メッセージｍの各々で厳密にポジティブ（正量）の確率を割り当てるｍ* （ｔ）のようなタイプｔならば、送信できました
条件付き確率が考慮するために情報（事によると新しい）を更新してベイズの定理を通して目的を達成するかもしれません
確率論で測度論は、集合の測定を通じて数を各々の適切な部分集合へ割り当てる（都合が良い）組織的な方向を研究します
「あてがう」数が直観的に部分集合のサイズで解釈され、感覚で測定は、距離・面積・体積、その他の概念の一般化でした
測度論でアトムは、正の測定を持つ測定可能集合です、より小さいけれども、正の測定として集合ではなく割り切れました
測定理論でコンテンツが集合Ａのフィールドを定義する実関数 μ です、測定は、コンテンツであり、その逆も同じでは無い
モノトーン・クラス理論は、Ｒの部分集合のコレクションＭであり、集合の減少する数列の交差に対して類似していました
測度論で測度・測定は、距離、面積、体積の一般化であり、サイズとして直感的に解釈された数理解析学における概念です
ルベーグ測度がユークリッド幾何学の距離、面積、体積をｎ 次元ユークリッド空間Ｒⁿ の適切な部分集合へ割り当てました
２つの測定可能空間は、数理的同型、確率空間が確率測定の測定空間です（多様な条件を両立する確率の位相空間の測定）
測れない集合が有限正量測定を持つ集合の光を放つ部分集合であり、円や線の部分集合Ｓで測度をもたなければなりません
ナル集合は、幾つかの感覚で無視してよく、異なる応用のため変化を付ける意味として測定０の何かの集合が零集合でした
確率論でエルゴード理論は、許可される動的システムの動作で特定の物理量の長時間平均と不変測度の位相平均の等価です
長時間で実行した決定論的な力学系の統計的性質の関心事の研究でした、初期の発展が統計物理学の問題から動機づけます
エルゴード仮説は、長期的に同じエネルギーのマイクロステートの位相空間の領域で体積へ比例するシステムの時間でした
「エルゴード」がギリシア語の「仕事＋経路」から由来します、ボルツマンによって選ばれ、統計力学の問題で働きました
方向で最初の結果は、ポアンカレ回帰定理です、位相空間の任意の部分集合にあるほぼ全ての点へ最終的再訪を論じました
確率論でエルゴード性は、位相空間の全てのシステムの状態で空間を平均化する時間を平均化した同じふるまいの参照です
ランダム・プロセスの時間平均が確率空間の平均と同じならば、エルゴード的でした、熱力学で集合平均として知られます
有限状態空間を持つマルコフ連鎖（マルコフの原理：古典的トートロジー）は、非周期的な正の再発がエルゴード的でした
統計学的に長い時で進化するシステムは、初期状態を「忘れます」、ほぼ初期状態から独立した後のエルゴード過程でした
非エルゴード的過程の例は、期待値が常に０の不偏ランダムウォークです、時間平均で発散分散のあるランダム変数でした
確率論で確率過程は、時間と共に変化する確率変数であり、ランダム変数のコレクションとして定義される数学的対象です
典型例がウィーナー過程でした、ブラウン運動の数学的モデルであり、連続時間のマルチンゲールの研究を通じて生じます
確率論でマルチンゲールは、過去の情報から計算する期待値とシーケンスの次の期待値が現在の値に等しくなる性質でした
コルモゴロフ外延理論が「有限次元分布の一貫したコレクションのため確率過程を定義するでしょう」を保証する定理です
マルコフ特性は、確率過程の次の状態の条件付き確率分布が現在の状態に依存する過去の状態へ頼らない統計的独立でした
確率論で確率的は、「ランダムに決定（選択）されるプロセス」の参照です、確率過程と呼ばれる数学的対象の説明でした
数学で確率過程とランダム・プロセスの言葉が取り換え可能と考えられ、現在の定義で「ランダム（無作為）」の意味です
確率過程の例でマルコフ過程を記述する確率行列とウィーナー過程のような微分方程式や積分を含む確率計算を含みました
確率的（推計）の言葉は、多くの異なる分野で使われます、特にランダムな方法による変化のようなシステムへ用いました
確率（可能性）が「全てのイベントに０～１の値を割り当てる方法」として全ての可能な結果で構成しなければなりません
数学で幾何学は、大きさ、形、そして、相対的位置に対する質問、それから、空間の特性に関心を寄せる数と形の研究です
幾何学の開始が古代文明に遡り、初期幾何学は、長さ、角度、面積、体積の発見された経験的な原理のコレクションでした
ユークリッド幾何学は、「平行公準」「点－線－面の公準」を含むユークリッドの公理の全てを満たす数学的システムです
数学で単体的複素のファセットが最大限シンプレックス（単体）であり、多面体とポリトープの一般的理論で相争いました
ファセットは、幾何学的多面体として角に頂点のある多角形です、最近、ｎ－ポリトープとして（ｎ－１）次元の面でした
▢▢▢ 幾何学 ▢▢▢
幾何学で点（ポイント）は、何かの空間に関して他の概念が定義できるかもしれない、そのタイプに属する最初の観念です
「点」は、体積・面積・距離でも何かの他の高次元の類似物でもありません、したがって、点が０次元オブジェクトでした
集合理論で取り扱う数学を通じて「要素」は、頻繁に「点」として言及され、点が「ゼロ」の直径の球として定義できます
無限遠点は、各線の「行き着く最後」にある理想化された極限の点でした、アフィン幾何学で射影的補完を獲得する点です
遠近法で無限遠点が消失点として知られ、収束するように見える３次元空間で相互に平行な線の２次元透視投影の点でした
幾何学で線（ライン）は、果てしなく２つの反対方向に拡張される点の級数（シリーズ）であり、１次元の空間の観念です
現実世界のモデル化で幾何学が使われるとき、「線」は、無視できる幅と高さの真直ぐなオブジェクトの表現に用いました
「線」のようなオブジェクトの理想化であり、通常、全てが幅や高さ・深さでは無く、無限に長い空間として見なされます
無限遠の点を持つ実線は、実射影直線でした、円で線の１つの点のコンパクト化、球で平面の１つの点のコンパクト化です
無限遠線が画像π に平行ではない平面α に由来する消失線であり、理論的に観測者の目の高さである水平線で終わりました
幾何学で球（スフィア）は、三次元空間の完全に丸い幾何学的オブジェクトであり、球面の円で円板を取り囲み外接します
二次元空間の円のように完璧な球が中心の周りで対称的な完成性でした、中心点から同じ距離ｒにある表面の全ての点です
高次数学で注意深い区別は、球とボールの間で作られ、スフィアが三次元ユークリッド空間で埋め込む二次元の球面でした
アルキメデスは、最初に３次元の球と球体の外接円筒の間の堆積の２倍である球体の内部にある堆積の公式を導き出します
球体が特性の一つとして剛体運動の３つのパラメーター（ｘ軸とｙ軸、回転）に変換される回転グループＳＯ（３）でした
幾何学でユークリッド幾何学は、アレキサンドリアのギリシア数学者ユークリッドの『原論』に起因する数学システムです
『原論』が平面幾何学で始まり、最初の公理システムと正式証明の最初の例として現代の第２段階の教育で教えられました
３次元の立体幾何学まで進みます、『原論』の多くは、現在、代数や数論と呼ばれる結果の幾何学的言語による説明でした
ユークリッド幾何学が初等幾何学として知られ、長い時を経て幾何学は、非ユークリッド幾何学のような大幅に進化します
基本となる幾何学の概念は、点、線、面、距離、角度、表面、曲線であり、位相学と多様体のより高度な概念を含みました
数学でヒルベルト空間は、完全内積空間（内積の定義されたベクトル空間）であり、ユークリッド空間の概念の一般化です
ベクトル代数と微分積分学の方法を２次元のユークリッド平面と３次元空間から有限か無限の次元の空間まで拡張しました
長さと角度を測定できる内積構造の抽象的ベクトル空間であり、更に完全です、微積分が使用できる十分な空間制限でした
幾何学的直観は、理論で重要な役割を果たします、ピタゴラスの定理と平行四辺形の法則の正確な類似物が成り立ちました
ヒルベルト空間の線形演算子は、具体的対象です、スペクトルの研究を通じて異なる因数で空間を広げる単なる変換でした
幾何学で位相幾何学は、図形の性質である寸法や曲直と無関係に位相的性質を位置関係のようなオブジェクトと見なします
伸ばす、捩じる、たわむ、しわくちゃ、連続的変形で保持する幾何学的対象の特性に関係しました（分断や接合ではない）
トポロジーがオイラーの１７３６年の「ケーニヒスベルクの七橋」の幾何学の質問から始まり、グラフ理論まで案内します
「位相的空間」は、無限性演算を必要とする推量を意味しました、「超フィルター」補題が位相幾何学で最も使用されます
位相的不変量の焦点から起因したオブジェクトの連続デフォルマシオンの観念の直観の一般化であり、通常、離散値でした
数学で位相的多様体は、ユークリッド空間のような局所的様相のハウスドルフ位相空間（異なる点を近傍として分離）です
より正確にマニホールド（多様体・集合体）がｎ次元多様体の各点でｎ次元のユークリッド空間と同相の近傍を持ちました
多様体の概念は、複雑な構造をユークリッド空間の単純な局所位相特性から記述できるため幾何学と数理物理学の中心です
地球の地図のような図表による例が開単位ディスクの複素多様体Ｃⁿ でした、移行写像でホロモルフィック（全射的）です
スムーズ多様体Ｃ∞は、関数構造を区別できる異なる多様体、リーマン多様体が滑らかな各点の内積の可微分多様体でした
幾何学で一般位相幾何学は、点集合位相幾何学として位相空間が非常に一般的かもしれず、多様体の類似を必要としません
一般位相幾何学は、位相空間について定義した構造の特性を研究するトポロジーの他の分野から区別ではっきりしています
点集合理論的位相学が位相的空間とそのようなオブジェクトとして定義される構造（点集合）の特性について研究しました
位相空間は、収束・連結・連続のような特性の概念の正式な定義を与える数学的構造として一般位相幾何学で研究されます
所定の集合にある２つの位相的構造が互いへ立てかけるかもしれません、最も一般的な位相空間の多くは、計量空間でした
幾何学で代数的位相幾何学は、位相空間の研究に抽象代数学を使います、トポロジーを用いて代数の問題解決も可能でした
基本的な目標が位相空間を同相写像まで類別する代数的不変式の発見です、ほとんどホモトピー同値まで種類を分けました
代数的位相幾何学と抽象代数でホモロジー（相同性）は、アーベル群や加群のシーケンスを位相空間や群論に関連づけます
結び目理論が数学的「結び目」の研究でした、両端を結合して元へ戻らない、３次元ユークリッド空間で円の埋め込みです
自由積は、ファン・カンペンの定理のため重要であり、位相空間の合併である基本群として常に混和自由積を明言しました
幾何学で幾何学的トポロジーは、多様体とその埋め込みの研究であり、質問する低次元の位相が４次元まで部分へ含みます
話題の幾つかは、向き付け可能性、局所平坦性、シェーンフリースの定理など、結び目理論が三次元で円の埋め込みでした
幾何化予想の「コンパクト３－多様体を部分多様体へ規範的に分解できる」として幾何構造と表面の一様化定理の類似です
「リッチ・フロー」で満ちた幾何化予想の証明は、４つの異なる今であり、帰結がポアンカレ予想と球面空間形予想でした
ポアンカレ予想は、数学として超球面の三次元球の特徴を描写する定理です、四次元空間に縛られるユニットボールでした
幾何学で微分位相幾何学は、微分幾何学と密接に関連して微分的多様体を微分的関数で取り扱い幾何学的理論を作成します
多様体のスムーズ構造が必要な特性を考慮しました、滑らかな多様体は、特定の種類の等価や変形の障害として機能します
ベクトル場、接ベクトル空間、余接空間は、微分幾何学の滑らかな多様体か可微分多様体として微分可能関数の研究でした
数学で束（バンドル）が一定の空間を占める積で構成された状態から産み落とされるファイバー束（線分束）の一般化です
ストークスの定理は、ベクトル場の回転について曲面の面積分が曲面境界における線積分に一致していることを述べました
幾何学で代数幾何学は、幾何学の問題の研究のため抽象代数学（特に可換代数学）の方法を使用します、算術幾何学でした
線型代数群が行列乗法で可逆ｎ×ｎ行列の部分群（直交群）であり、多項式方程式によって定義され、主な例のリー群です
アーベル多様性の算術は、数論の研究であり、楕円曲線によって見分けられ、結果と予想の項で実質的な面積に成りました
正則関数が代数多様性Ｖに関する多項式関数であり、例えば、体Ｋのアフィン・ラインであるならば、可換環Ｒを作ります
消去理論は、多項式方程式システムを解くため幾つかの変数を消去するアルゴリズム的アプローチでした（計算機代数学）
幾何学で微分幾何学は、幾何学における様々な問題を研究するために微分学と積分学の方式を使用して試みた数学分野です
三次元ユークリッド空間の平面と空間曲線、そして、表面の理論が１８－１９世紀の最初の発展における根拠を表しました
リッチフローの技術によってポアンカレ予想の証明は、トポロジーの問いへ微分幾何学アプローチの力をはっきり示します
数学でエンベロープ（包絡線）が２つの隣接した曲線の交差の点でもあり、空間の表面の包絡線と高次へ一般化できました
ホロノミーは、広さの計量の湾曲の帰結の一般化です、最初のベクトルへ回帰の欠如する「つながり」と球状の観念でした
幾何学で射影幾何学は、二元性の原則に対して顕著な幾何学の非測定基準幾何学の形です、遠近法芸術の原則が起源でした
その特別でより制限的なケースとしてアフィン幾何学、（類似している）測定基準幾何学、ユークリッド幾何学を含みます
射影幾何学は、幾何学の大きなクラス（類）のため性質を統一するフレームでした＜「エルランゲン・プログラム」の強調
メビウス変換がユニット２－球のためステレオ投影で取得され、場所と方向へ球の回転と移動、それから、平面へ射影です
二元性は、投射特性が保存される「点と線」の互換性であり、点で超平面に対応、線で二超平面と他の交差に対応しました
幾何学でアフィン幾何学は、一つしかない平行な線の特性について特徴づけます、「アフィニス」（隣接）に由来しました
距離と角度の計量概念を使用しないユークリッド幾何学として『原論』の第一・第二・第五（平行公準）の公理の仮定です
プレイフェアの公理「線ＬとＬに無い点Ｐならば、Ｐを通るＬに平行なラインの１つだけ」がアフィン幾何学の基本でした
幾何中心は、線の等しいモーメントを２つの部分へＸの割算であり、凸集合が直線のあらゆる点でオブジェクトの範囲です
ミンコフスキー空間は、通常の三次元の空間が時空として四次元の多様体を作成するため時間の一次元と組み合わせました
幾何学で非ユークリッド幾何学は、平行公準が保たれない曲面の幾何学であり、「平らな面」の観念でモデル化されません
ショーペンハウアーは、回り道の概念で平行公準の証明を批評します、双曲幾何学的モデルで並行の多くの線の無限でした
楕円幾何学的モデルで平行線の不在、緯度・経度の点の同じ、球で線が大円であり、偽球で双曲幾何学の適当な湾曲でした
非ユークリッド空間は、消えないリーマン曲率テンソルで特徴づけられ、２つの幾何学で本質的に異なる平行線の性質です
ヒルベルトのエンドの算術が双曲平面を与えられ、体・場の要素の「イデアル点」や「エンド」でフィールドを譲りました
幾何学で凸面幾何学は、数学の多くで自然に現れ、主にユークリッド空間の凸面集合（実数のアフィン空間）を研究します
超平面が２つの非平行超平面の二面角で法線ベクトルの角度（超平面の角度の二度（再び））でした、軸、角度、反映です
輪郭集合は、あらゆることが何かのため①優る②上位か同値③劣る④劣位か同値の「普段の観念の一般化と形式化」でした
凸状は、曲率の外か外へ向かう膨張であり、集合の２つの点の何かのためそれらの２つの点が集合でもあるあらゆる点です
凹状は、凸面関数（実線の開区間）の負であり、凹関数が「凹形ダウン」「凸形キャップ」を称する同義語でもありました
幾何学で離散幾何学は、組み合わせ幾何学として知られ、幾何オブジェクトの組み合わせの特性と構成の方法を研究します
離散数学が連続性の観念を必要としない感覚で離散的な数学的構造であり、離散対数は、序数対数の群論的な類似物でした
ペンローズ・タイルは、プロトタイルのシフトしたタイルのコピーが元のタイルと決して一致しない非周期タイルの例です
球充填は、空間の重なり合わない球体の配列でした、球パッキングの問題が非ユークリッド空間を考慮して一般化できます
ケプラー予想は、ユークリッド空間の球パッキングの定理であり、同じサイズの球体の配置の密度が約７４．０５％でした
数学で三角法は、三角形（特に１つの角度で９０度の平面三角形の直角三角形）で辺と角の関係と三角関数を取り扱います
三角関数がｓｉｎ＝ＢＣ／ＡＢ，ｃｏｓ＝ＡＣ／ＡＢ，ｔａｎ＝ＢＣ／ＡＣとして直角三角形の三辺交互性の比の値でした
角度θ の三角関数の全ては、点Ｏで中心を持つ単位円に関して多様な線分の長さで定義する等面積を幾何学的に構成します
球面三角法と呼ばれる三角法の分野で球に関する三角形が研究されました、天文学とナビゲーション（航海学）で重要です
球は、三角形にある角度の合計が１８０°と等しくなく、ユークリッド空間ではありません、地球でほとんど１８０°でした
▢▢▢ 三角法 ▢▢▢
三角法で三角関数は、一般に角度を含む直角三角形の２辺の比率として定義され、微分公式がピタゴラスの定理の証明です
単位円から多様な線分の長さを通じて定義される等面積を可能にしました、角度の関数（単位円による定義で円関数）です
馴染み深い三角関数は、ｓｉｎ、ｃｏｓ、ｔａｎでした、近代の定義が無限級数か特定の微分方程式の解として表現します
任意の正・負の値と更に複素数へ外延を許しました、基礎物理学でカルテシアン座標・デカルト座標にベクトルを解きます
サインとコサインの関数は、典型的な周期関数の現象へ普通に使用されました（例えば、光波と音波、日光強度と光周期）
三角法で球面三角法は、球面多角形（特に球面三角形）の球面幾何学であり、球と辺と角度の間にある関係を取り扱います
地表面・天文学・軌道・宇宙航行の計算に有効でした、９世紀初期としてフワーリズミーが球面三角法の初期の開拓者です
１０世紀にワファーは、角度加法公式を確立しました、例えば、サイン（ａ＋ｂ）と球面三角法のサイン公式を発見します
ａ，ｂ，ｃで三角形の三辺に対する中心の角度とα ，β ，γ の辺の角度であり、角度 α が角度ａ,…に対する辺の相対でした
球面三角法で角度は、大円の間で定義されます、内角の合計で１８０度を上回り、２つの類似する球面三角形の合同でした
数学で純粋数学は、物理世界で概念の具体的応用へ焦点を合わせることなく純然たる数学の概念に動機づけられた数学です
数学的な厳格（ｒｉｇｏｕｒ）、抽象化（Ａｂｓｔｒａｃｔｉｏｎ）・美（ｂｅａｕｔｙ）の理由によって特徴づけました
１８世紀から数学的活動のカテゴリーとして見分けられます、新たな発見を通じて数学を書き換える必要性に起因しました
純粋数学で「行儀の良い」オブジェクト（対象）がエレガント（優雅）な特性による手段のため証明／分析を可能にします
時々、純理論的数学、そして、天文学、物理学、ナビゲーション、エンジニアリングのような必要性と出会い分散しました
数学で数論（整数論）は、探究から起きる問題のより広い集まりと同様に数と整数の特性へ関心を持つ純粋数学の分野です
数論の探究が使用される方式と調査した質問のタイプに一致するとして幾つかの研究分野へ再び分割されるかもしれません
ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃ（算術・算数）は、数論を言及する言葉に使われ、もはや人気が無く、まだ数学的分野で現れました
しかし、より厄介な形容詞として「数論的」を用いるよりも「アリスメティック」（初等算数）の言葉は、より一般的です
数論の例が自然数を螺旋へ配列した素数の強調から興味をそそる完全に説明されないパターンの観察でした（ウラム螺旋）
▢▢▢ 数論 ▢▢▢
数論でペアノの公理は、１９世紀のイタリアの数学者Ｇ・ペアノに提示された自然数の公理であり、算数の特性の定義です
公理が整数論の一貫性と完璧性の土台に関する質問の探究を含む幾つかのメタ数理的調査でほとんど不変に使用されました
ペアノ公理は、３つのタイプの公理を含みます、初めの４つの公理の部分で等式（相等・同等）について概説していました
次の４つの公理でサクセサー（後者演算）の基本的特性である自然数の一次の声明です（新しい定式化で最初の自然数０）
第９の最終的公理で自然数の数学的帰納法の原則の二次の声明であり、帰納の二次原理を一次原理の概型と入れ替えました
数論でディオファントス方程式は、不定（確かではない）の多項式の方程式です、唯一、整数のため変数を受け入れました
３世紀のヘレニズムの数学者ディオファントスがそのような方程式の研究によって象徴性を代数学へ導入する初の１人です
線形ディオファントス方程式は、次数０か１の単項における２つの和（総計）の間の方程式ａｘ＋ｂｙ＝ｃのパズルでした
ディオファントス問題が未知の変数と整数を見つける少数の方程式、一般的オブジェクトを定義してラチスの点を求めます
ディオファントス解析は、ディオファントス問題の数学的研究です、二次形式を更に越える公式化が２０世紀の業績でした
数論でフェルマーの最終定理は、方程式ａ ⁿ ＋ｂ ⁿ ＝ｃ ⁿ の「特例」についてピタゴラス数ａ ² ＋ｂ ² ＝ｃ ² が満たします
３正整数ａ，ｂ，ｃではなく、２つよりも大きなｎの何かの整数値ℤのため方程式ａⁿ ＋ｂⁿ ＝ｃⁿ の成立を可能にしました
ピタゴラス・トリプルは、３正整数ａ ² ＋ｂ ² ＝ｃ ² として自然数ℕの組で無数に存在して有名な例の（３，４，５）です
トリプルを生み出す方式がバビロニア人から始まり、多くの文化で研究され、興味は、ピタゴラスの定理と結び付きました
フェルマーの最終定理は、高次の冪へ問題の外延であり、指数２をより大きな整数ｎに置き換えるとき、解が実在しません
数論で解析的整数論は、数理論的問題（整数の問題）を解くため数理解析によって使用する方式を採用した数学の分野です
頻繁にディリクレの算術進行定理の最初の証明を与えるためにディリクレＬ－関数の導入で開始されたと言われていました
もう一つの主なマイルストーンが素数定理です、主題の発展／開発は、技術の改良で行われるため「どっさり」ありました
「乗法数論」と「加法数論」の部分に分散です、「ディオファントス近似」のニーズは、母関数では無く、補助関数でした
「鳩の巣原理」の係数と幾つかの複素変数を含みます、「超越理論」をモーデル予想へ応用して「点」のため広がりました
解析的整数論でグリーン－タオ定理は、素数の数列が「任意の長い算術進行（等差数列）」を含みます（内部に存在する）
言い換えると、何かの自然数ｋに対して実在することは、素数のｋ－算術進行でした、「セメレーディの定理」の外延です
セメレーディの定理がエルデシュ－トゥラーン予想の証明を述べていたあらゆる値ｄに対する密度０＜ｄ＜１を称しました
整数ｋのどれも数Ｎ（ｄ，ｋ）、あらゆる部分集合Ａ、長さ－ｋの算術進行を含む基数ｄＮ、Ｎ＞Ｎ（ｄ，ｋ）の提供です
解析的数論の分野で最近の躍進する１つは、素数における任意の長い算術進行の実在についてグリーンとタオの証明でした
数論で乗法数論は、素数、そして、因数分解と除数として取り扱う解析的数論であり、素数定理が主題の鍵となる結果です
焦点は、通常、多様な文脈を通じて数学的オブジェクトを数えるため近接する公式の発展・開発の途上に関してありました
素数の分布で取り扱い、頻繁に母関数としてディリクレ級数の適用です、結局、一般的なＬ－関数へ適用するだろうでした
素数定理である素数の漸近線的分布です、存在している素の見込みの約１／ｌｎ（Ｎ）、ｌｎ（Ｎ）がＮの自然対数でした
冪和（指数の合計）は、「有限フーリエ級数（三角法多項式）」か「指数関数から生成する他の有限合計」かもしれません
数論で篩（シーブ）は、一般の補変域（コドメイン）で選択する矢（ベクトル・関数・射・条件）の方向の数学的対象です
幾つかの最新の応用によると、「篩に掛けた集合」のサイズを概算しないために（関数を延長するために）使用されました
集合で大きく、そして、大部分が集合の外で小さいです、そして一方、集合の固有関数よりも解析するためにより楽でした
篩に掛けた集合は、幾つかの規定された極限Ｘまで至る素数の集合であり、近接するために１つの成功した数を特定します
もう一つの単純な集合（ほとんど）でより大きく解析により簡単、より凝った篩が「ウェイト関数」の他よりも重いでした
数論で加法数論は、アーベル群（可換群）の加法演算の付加的な構造と特性である数学的対象について大まかに話されます
研究の２つの原理オブジェクトの一つがアーベル群Ｇから要素（エレメント：元）の２つの部分集合ＡＢの合計集合でした
形Ａ＋Ｂ＝｛ａ＋ｂ：ａ∈Ａ，ｂ∈Ｂ｝です、もう一つは、Ａのｈ－フォールド合計集合の形 ｈＡ＝ ｈ｛Ａ＋…＋Ａでした
典型的問題の「ゴールドバッハの予想」（２よりも大きな偶数のどれもゴールドバッハ数）と「ウェアリングの問題」です
ウェアリングの問題は、あらゆる自然数ｋに対して…かどうか求められ、ほとんど４平方／９立方／１９四乗の合計でした
数論で組合せ数論は、公式化や解における「組合せのアイデア」を含み、代数的／解析的な方式がとても強力（効能）です
典型的な話題は、「被覆システム、ゼロサム問題、多様な制約合計集合、整数の集合における算術進行」として含みました
被覆システムが有限のコレクション（完成剰余システム）です、多くの剰余クラスは、ユニオンで全ての整数の被覆でした
組合せの理論の「極値分岐（分散する）」は、リターン（回帰）で持たれ、プレース（桁）の値で非常に影響する結果です
縛られた量的上下に関する解析的数論の桁／数の位の値であり、素数の任意の長い算術進行の実在は、証明されていました
数論でタイポグラフィカル数論は、ホフスタッターの本（ ‘７９）で現れた自然数を説明する公式公理システムの一つです
各々の自然数の合成シンボルを通じてペアノ算術へ道具を提供してゲーデルの不完全性定理を説明する助けに使用しました
シンボルＳで「後継演算」や「後の数」の解釈が可能であり、ｓｓｓ０で後の２、ｓｓ０で後の１、ｓ０で後の０の数です
真実を述べる可能な前に全てを証明しなければなりません、真実の冪として下を掘り、正に有用性の土台を崩すためだろう
自然数へ異なるシンボルを使用してペアノ公理へ手段を提供した何かのシステムのように自己言及的システムを述べました
数論で代数的数論は、代数的整数に関係する代数的構造を研究であり、通常、代数体Ｋ／Ｑで代数的整数Ｏの環の考慮です
そして、因数分解、イデアル（無いに等しいと見なされた集合）のふるまい、体の外延のような代数特性が研究されました
セッティング（設定すること）で整数の馴染みの特徴（一意分解のような）は、「保有することではない」を必要とします
ガウスによって書かれた唯一の数論の著書が『算術研究』でした、２４歳の１８０１年に公表され、代数的数論を扱います
けれども、ガウスは、明らか（陽関数表示）として群の概念を見分けず、数学的主体に対する表題・肩書が高次算術でした
数論で平方剰余（二次剰余）は、整数ｑが完全平方（ｍｏｄ ｎ）に合同するならば、ｎを法とした平方剰余と呼ばれます
すなわち、整数ｘは、実在ならば、ｘ ² ≡ｑ（ｍｏｄ ｎ）です、元々がモジュール算術として知られる抽象的概念でした
平方非剰余は、二次剰余ｘ ² でｑがｎを法とした平方非剰余を称します、現在、応用で使用して大数を因数へ分解しました
平方相互性は、素数を法とした二次方程式の可解性の条件／前件を与え、２つの「補足」と相互性法則のため成り立ちます
素数を法とした何かの二次方程式で解を保有するかどうか告げました、実際に解を見つける何かの助けを全く提供しません
数論で幾何的整数論は、数の幾何学（数学の他と緊密な関連）としてｎ次元空間における凸面体と整数ベクトルの研究です
特に関数解析、ディオファントス近似、そして、有理数を見つける問題でした、無理数の量の近接（概算：ほぼ正確）です
ユークリッドの互除法が最大公約数を計算する効率的方式であり、２つの数による最大公約数は、一つの最大の約数でした
２つの数の最大公約数（剰余を残すことなく双方で分かつ）は、少ない数が大きな数から引き算しても変わらない原理です
ミンコフスキーの定理は、Ｒⁿ の凸面集合が（座標の）原点の尊重で相称的であり、体積で２ ⁿ ｄ（Ｌ） の点を含みました
数論でＡＢＣ予想は、３つの正の整数ａｂｃの項で定められたａ＋ｂ＝ｃ ｃ＞ｄ＾１＋ε を断言する提案された推測です
互いに素とａ＋ｂ＝ｃを満たすａｂｃの明確な素因数の積のｄならば、ｄが、通常、ｃよりも遥かにより小さくありません
言い換えとしてａとｂは、素数の大きな累乗で構成するならば、それからｃが、通常、素数の大きな累乗で割り切れません
整数の特性へ関心を寄せる数論の幾つかの有名な予想と定理は、様々な興味深い結果がａｂｃ予想の直ぐ後へ続くでしょう
全ての正の実数 ε の実存は、唯一、ａ＋ｂ＝ｃで互いに素な正の整数の有限のトリプルがｑ（ａ，ｂ，ｃ）＞１＋ ε でした
数学で数学基礎論は、数量、構造、空間、変化について哲学的・論理的、そして、アルゴリズム的な基礎へ関心を寄せます
あるいは、より広い感覚で数学の性質の哲学的理論の根底にある何かの調査であり、数学の哲学から区別を曖昧にしました
基本的な数学的概念とより複雑な構造や概念の階層を形成する方法、特に数学の言語を形成する重要な基礎構造の研究です
数学の哲学的側面と統一性からメタ数学的概念を称しました、数学的対象の抽象的性質は、特別な哲学的課題を提示します
体系的探索から高度な技術的洗練は、多くの哲学者に他の科学の基礎のモデルやパターンで役立つ可能性を推測させました
▢▢▢ 数学基礎論 ▢▢▢
数学基礎論で基礎の危機は、数学の適している土台の検索で２０世紀初期に幾つかの学派が次々と困難へ向かって走ります
数学の土台で何かの定めの想定は、重い挑戦のため始めました、難攻不落の土台の企てが様々なパラドックスで苦しみます
何かの数学的言明で「望ましくない状況」として提案のシステムで明確に述べ、システムで証明できました（２＋２＝５）
感覚で「危機」は、解消されず（消えて行く）、大部分の数学者が公理システムから働かず、ＺＦＣの一貫性を疑いません
大部分の数学で役割を果たさない様々な論理的パラドックスは、論理と圏論のような実践した分岐で避けるかもしれません
数学基礎論でメタ数学（数学「の後に」「を越えて」）は、数学的方法が使用される数学のそれ自体の研究に取り組みます
数学の「何」について焦点を合わせ、故に数学基礎の危機と呼ばれました、１９２９年のゲーデルの作品で頂点に達します
ゲーデルの完全性定理「所定の一階文で論理的に妥当な場合に限り演繹できる」は、「不完全性定理」まで道案内しました
言語の実数の「定義」で『リシャールのパラドックス』が矛盾の例であり、数学とメタ数学の区別の失敗で簡単に現れます
「メタ数学」の言葉の一つは、時々、命題論理と述語論理を含む形式論理学の要素部分に対する同義語として使用しました
数学基礎論で数理論理学は、数学へ形式論理学の応用が探究され、形式体系の表現力と証明体系の演繹力の研究を含みます
ツェルメロ＝フレンケル公理は、具体的にＺＦＣが「包括的に制限される」を与え、現代数学や集合理論へ適合できました
数理論理学は、数学の歴史で集合理論と逆説（パラドックス）、記号論理学の後で他の公理が他の分岐として始められます
数学的論理階層は、数学的対象の様々な類別でした、例として実数や実数集合が様々な限定性と複素性の規準で基づきます
算術の標準モデルは、ペアノ算術の元の整然とした線形、非標準モデルが最初に発生するセグメントの外に更なる元でした
数理論理学でメレオロジーは、「部分」とそれぞれの「全体」について取り扱う公理的一階理論のコレクションの研究です
集合－要素の関連について取り扱う集合論と対照的であり、メレオロジーが述語論理の応用と形式的形而上学の分野でした
メロノミーは、「部分－全体」の関連で対処する階層のタイプです、別々の集合に基礎を置く分類化の方法と対照的でした
つながり理論（メレオトポロジー）が理論の適した断片Ｃの全体位数で抽象的クラスを可能にする点を定めることだけです
グレイカナス公式は、ｘ原理が有効なとき、関連に対する制御のスパンの複雑性へ至り、形式に経験的有効性を与えました
数学基礎論で象徴論理学（記号論理学）は、以前、現在の数理論理学が歴史的にそのように呼ばれたとして知られています
数理論理学で統一テーマは、形式システムの表現的パワー（冪）と形式証明システムの演繹的パワー（累乗）を含みました
いわゆる、数学の土台である４本柱が「モデル理論」「公理の集合理論」「再帰理論」「証明理論」として知られています
論理を数学を通じて研究する学問の数理論理学でした、そして、計算機科学と哲学的論理へ緊密なつながりを備えています
伝統的に論理学は、哲学の分科と見なされ、１９世紀に形式論理学が数学の土台の文脈の研究から象徴論理学を称しました
数学基礎論で集合理論（∈Ｓ）は、数学的対象のコレクションの研究であり、集合の概念が数学課程を通して統合されます
古典集合理論は、一階言語の使用でした、集合理論の近代の研究が１８７０年代にカントールとデーデキントで始まります
集合論の言語は、ほぼ全ての数学的対象の定義で使用され、構成性の次数のより強い（ストロンガー）観念を研究しました
構成的集合理論が一階言語であり、構成的タイプの明快な（陽の）使用ではなく、集合であり、古典数学のように見えます
集合論の公理は、「集合について話す」一つでした、問題のある公理であり、受け入れられた公理を必ずしも意味しません
集合論でツェルメロ＝フレンケルの集合論（ＺＦＣ）は、一つの最初の存在論的観念と一つの存在論的想定を定式化します
近代数学の標準的土台で集合論の提供が首尾一貫していました（不変）、連続体仮説の実在と非実在を公理に追加できます
具体的にＺＦＣは、「包括的な制限」を与え、実際、数学や集合の標準公理であり、類似する理論へ簡単に適合できました
ツェルメロ集合理論は、近代集合理論の先祖であり、子孫から違いました、常に理解されなく、間違って引用されています
ＺＦＣが選択・選出の公理を付加する外延性、規則性、指定、対、和、置換、無限、冪集合の公理と整列順序の定理でした
集合論でゲーデルの構成できる宇宙（構成可能集合）は、Ｌ（構成可能階層Ｌα の和）を意味する集合の特有のクラスです
より単純な集合の項で完全に記述できました（選択公理と連続体仮説の一貫性）、ＺＦ集合論の内側のモデルを証明します
選択公理と一般化連続体仮説が「構成できる宇宙」の真実でした、ＺＦで首尾一貫するならば、両方の命題で一貫してます
集合論の基本公理の一貫性は、他の定理がシステム（命題の一方や両方の真実）から理解（把握）できる重要な結果でした
ＺＦＣのような理論の一貫性は、ゲーデルの不完全性定理のようにシステムでシステムを証明できない：決定不可能な命題
集合論で集合理論的宇宙は、グロタンディーク宇宙（集合Ｕのこと）やフォン・ノイマン宇宙（集合Ｖのこと）の参照です
グロタンディーク宇宙がＵを意味する数学の全てを実行できた集合を提供する手段でした（Ｕの要素（元）であるならば）
実際、グロタンディーク宇宙Ｕは、モデルを集合論へ提供しました、例えば、人間が簡単な命題について証明するでしょう
フォン・ノイマン宇宙がＶを意味する根拠の十分な集合のクラスのコレクション（系）です、ＺＦＣの形式化の結果でした
Ｖの集合は、最も少ない序数の帰納的な定義です、階数に基づく累積的階層の超限（有限を越える階層）へ分けられました
集合論でＬ（Ｒ）は、全ての序数と実数を含むＺＦで最も小さな推移内部モデルです（一般に大きな基数公理の広い配列）
「ＲのＬ」であり、Ｌから明らかに区別されました、ゲーデルの構成可能宇宙のようなＬの構造の相似として構成できます
初めに全ての実数の足し算、それから、全ての序数の定義可能な冪集合演算の反復であり、公理の無しで一つを現せません
しかし、十分に大きな基数が実在するならば、Ｌ（Ｒ）は、選択公理を満たしません、そして、むしろ確定性の公理でした
Ｌ（Ｒ）は、まだ「依存選択公理」を満たします、唯一、フォン・ノイマン宇宙Ｖを与えられ、その公理が満たされました
数学基礎論で証明理論は、数学的技術で分析を容易にした正式な数学的対象である証明の描写です（自然のシンタックス）
証明がプレインリスト・ボックスリスト・ツリーのような定義される帰納的データ構造の形式として典型的に示されました
プレイン・リスト、ボックス・リスト、ツリー、は論理的システムにおける推論の公理と規則にしたがって造られています
証明論（統語論的）がモデル理論（対照的に意味論的）、公理集合理論、再帰理論と共に数学基礎論の４本柱の１つでした
哲学的論理に重要であり、主な興味の証明理論的意味論のアイデアです、実行で構造証明理論の技術的発想に依存しました
証明理論で形式システムは、序数の自然言語かその部分的な形式化かもしれないメタ言語で形式システムについて論じます
一般に形式言語の構成要素よりも形式化のあらゆる点で少なく「対象言語」と呼ばれました（問いの論議のオブジェクト）
形式システムが与えられるならば、定理の集合を定義できる証明のある全ての整論理式で作られ、証明は、内側で可能です
全ての公理は、定理と見なされ、アルゴリズムが整論理式の文法と違い保証の無しで所定の整論理式を定理か決定しました
定義された定理の観念です（形式システムの定理と混同しない）、通常、混乱を避ける注文で「メタ定理」と呼ばれました
証明理論で形式的証明は、各々のセンテンス（文）の有限シークエンス（数列）－有限の連続から証明の存在か非存在です
センテンスが形式言語の整論理式であり、公理でした、あるいは、推測の原則からシーケンスで先行する文の後に続きます
数列の最後の文は、形式システムによる定理でした、定理の観念が一般に効果的では無く、方式の何も無しかもしれません
形式的証明は、「証明する対話型定理」の計算者／計算機の証明支援で構成され、示唆が証明の自動的チェックの可能です
形式的証明のチェックは、通常、単純であり、通常、ところが証明（自動定理証明）を見つけることで計算的に困難でした
証明理論で形式的定理は、定理の派生が命題の真実の証明として解釈され、定理の部分と見なさない証明が延長に必然です
定理として命題の確立に所定のステートメント（言明）へシステムの公理から推理の詩行の実在を示さなければなりません
１つの証明は、定理の妥当性に必修でした、異なる証明の最大多数の定理のタイトルを持つ競争者のピタゴラスの定理です
形式言語の要素で形式的定理の定義が証明論の結果のため許され、形式的証明の構造と証明できる公式的構造の研究でした
形式言語の表現で初等数論の定理の「ゲーデルの不完全性定理」は、公理化から証明できるでも反証できるでもありません
数学基礎論でモデル理論は、グループ・フィールド・グラフ（更に集合論のユニバース）のような数学的構造を研究します
形式言語のセンテンス（文）に意味を与える構造が言語のモデルでした、特有の文やセオリー（理論）のモデルの作成です
モデル理論は、代数学や普遍的代数学と密接でした、アーティクルが無限構造の一階モデル理論の有限に焦点を合わせます
有限モデル理論は、有限構造を一点に集中する難問研究と技術使用の両方から無限構造の研究で示唆されて分かれ出ました
高階論理や無限論理のモデル理論の完成性は、一般に保てない事実で阻止します、しかし、研究の多くが行われていました
モデル理論でモデルは、「様々な工夫による仕組み」の対象のために仕えます、見分けられ、二元性で親密に携わりました
数学的言語の記述体系が「数理モデル」です、「形式理論」は、一般に公理体系を意味してモデル理論で明確に述べました
モデル理論は、「普遍代数学＋論理学＝モデル論」に対応する言語の構文的要素の意味によって意味論的要素を審査します
正規モデルが相等を審査する解釈化でした、現実の等価として解釈しなければならず、「解釈を研究するだけ」と同義です
非標準モデルは、意図されたモデルと同形では無く、意図されたモデルで無限と言語の一階ならば、存在が保証されました
モデル理論で解釈は、Ａが「Ａの定義可能な部分集合Ｄ」「Ｄに関する定義可能な関連」ならば、Ｂについて解釈されます
Ｂは、領域Ｄ、そして、これらの関連・関数である構造に同形でした、幾つかのセッティングで領域Ｄではなく使われます
しかし、ＢがむしろＡの定義可能な同値関係を法とするＤでした、形式言語は、幾つかの解釈の授与まで意味を持ちません
理論Ｔは、Ｔの定義Ｔ’による有限拡張であるならば、ＳがＴ’で割り切れるもう一つの理論Ｓを解釈すると言われています
論理・数学・理論計算機科学として用いられている多くの形式言語は、単なる項（統語的術語）だけで定義されていました
数学基礎論で再帰理論は、計算可能性理論であり、計算する関数とチューリング次数の研究から１９３０年代に始まります
分野が一般化された計算可能性と限定性の研究を含むようになり、地域で証明理論や効果的な記述集合理論と重なりました
数理論理学の研究分野の再帰理論家は、しばしば、相対的な計算可能性・約分の概念・次数構造の理論について探究します
再帰理論（計算可能性理論）が、また、二階論理、自然数の形式理論、そして、自然数の集合理論と関係を備えていました
ある集合は、「計算できる／他よりも計算できる」事実です、二階算術の弱い（ウィーク）サブシステムが定義できました
再帰理論で再帰は、定義したファンクションであり、それ自身の定義で適用され、そのファンクションを定義する方式です
ｆｕｎｃｔｉｏｎが「関数」でした、Ａの集合とＦの汎関数の関係ならば、置き換えＦ［Ａ］は、ＺＦＣ集合を保証します
特に「再帰」は、有限構成要素を使うために無限言明（ステートメント・平叙文・真／偽の物事を述べる）を定義しました
より通常、「再帰」が自己の方向にあるため似ていた繰り返されるオブジェクトのプロセス（姿を映す）の記述に用います
そして、例えば、２つの鏡の表面は、正確な平行のとき、その現れが互いに入れ子にされたイメージで無限再帰の形でした
再帰理論で決定問題は、「はい」か「いいえ」の答えのため保有される幾つかの形式システムにおける「問い」の言及です
そして、決定問題の議論が幾つかの入力パラメータの値に左右されました（関数問題は、出力であらゆる入力を予想する）
例えば、「数の２つｘとｙを与えられます、ｘは、均一にｙで割り切れますか？」の問いを決定問題として取り扱いました
答えが「はい」か「いいえ」であることを可能にします、そして、（入力パラメータとして）ｘとｙの値に左右されました
決定問題は、関数問題と密接な関係です、単純な「はい」や「いいえ」よりも更に複雑な解答を保有することができました
再帰理論で停止性問題は、プログラムの記述を与えられ、プログラムが実行を終えるか永遠に実行するかどうか決心します
「停止性／停止する問題」は、プログラムと入力を与えられる「決定問題」に等しく、「はい／いいえ」の「問い」でした
１９３６年にチューリングが「停止する問題」を解くために一般的アルゴリズム（問題を解く手順の定式化）を証明します
全ての可能なプログラムＡ－インプットｘのペアは、実在できません、Ａ（ｘ）におけるＡの予測したｘの逆の実行でした
我々ｙ＝Ａ（ｘ）がチューリングマシンの「決定できない」を言います、「停止で実行／停止しないで停止」の矛盾でした
再帰理論で未決定問題は、問題集合で正しく全ての質問に答えられる「計算する関数」がありません、そのような問題です
同時代の使用における「未決定（決定できない）」の数学的術語について２つの異なる意味を通じて解釈を可能にしました
指定した演繹的システムにおける証明でも反駁でもない存在について言明します（ゲーデルの定理の関連で使われる感覚）
ステートメント（言明）として適用しない決定問題の質問の可算性無限集合でした（計算可能性理論の関連で用いる感覚）
決定問題は、「はい」か「いいえ」の答えに至らせる問いが決定できません（一つのアルゴリズムの構成体のため不可能）
数学基礎論で様相論理は、様相の要素を含むため形式論理学の標準を広げます、法助動詞が判断の真実の資格を与えました
伝統的に表される「様相／様式」（可能性・蓋然性・必然性）は、「必然性の真実」と「可能性の真実」の区別をつけます
モダル・オペレーター（様相を示す演算子）の使用を表しました、様相論理で「とても」や「おそらく」のような言葉です
基本的な単一体（１つの場所）モダル演算子が、通常、可能性に対する ◊、そして、必然性に対する □ として表されました
古典様相論理で各々は、「いいえ」◊ と「はい」□ として表せます：したがって、 ◊ Ｐ⇔ ¬ □ ¬ Ｐ、 □ Ｐ⇔ ¬ ◊ ¬ Ｐでした
様相論理で様相作用素（様相連言）は、命題から命題形まで一般に非真実関数の存在している「形式的」特性を所持します
様相演算子（作用素）が様相／様式の感じ方（可能性・必然性・信念・知識 …）を表すことで「直観的に」特徴づけました
オペレーターが適用される命題（申し出る）に存在します、具体例は、エントリーで文学的理論へ様相性を関係づけました
様相性は、哲学で可能性・偶発性・必然性のような概念であり、文学のシステムが実際の世界と可能な世界で構成されます
非真理関数は、様相論理によって表され、非真理関数演算子（様相作用素）と古典論理が広がりました（ｉ＝０，…，ｎ）
様相論理で可能世界は、多くの可能世界の１つの現実に存在した世界の考慮で理論家の使用した「可能な世界の概念」です
ありえる可能世界の性質に関して意見の相違があり、実世界とあらゆる可能世界の「存在論的ありさま」で特に違いました
命題世界と可能世界の緊密な関係であり、世界は、真か偽です、どんな可能世界でも命題「真／偽」その点に注意しました
それから、命題の「様相／様式のありさま」が世界の項（他の語に取り付けて複合語を作成）によって理解を可能にします
可能世界のアイデアは、最も一般にライプニッツで起因するけれども、学者が発想の跡をアリストテレスでも発見しました
様相論理で認識的様相論理は、知識の推理に関心を寄せ、知識のモデリングの大部分の試みが可能世界モデルに基づきます
アリストテレス以来、哲学者が様相論理について論じました、そして、中世哲学者は、その人々の観察の多くを開発します
２０世紀に話題へ最初の記号的組織アプローチを創り、最新の形にクリプキの作品で達しました（嘘つきのパラドックス）
可能世界の集合をエージェントの知識で矛盾しないそれらとそれらを分けなければなりません－出来事の作用素の知識です
認識論理学は、哲学、理論計算機科学、人工知能、経済学、言語学を含む多くの分野の応用を備えている最近の開発でした
様相論理で標準的可能世界モデルは、数学的アプローチとして論理に基づくクリプキ構造と事象に基づくオーマン構造です
論理に基づくアプローチが様相論理のシステムを使いました、例えば、一般的に哲学・論理・ＡＩの分野で用いられました
論理に基づくアプローチで構文と意味は、様相論理の言語から造られます、現在を記述するでしょう（クリプキ・モデル）
イベントに基づくアプローチが論理的公式のあらゆる点で離れ去りました、例えば、ゲーム理論と数学的経済学の分野です
イベントに基づくアプローチで事象は、可能世界の集合として含まれ、知識がイベントのオペレーターでした（共有知識）
数学基礎論で直観論理は、システムが（真実よりもむしろ）正当化を保存した変換をわたって命題を引き出して譲られます
象徴論理学システムでした、直観論理を使用する強い動機は、実践の見解として直観的に命題の「真／偽の決定可能」です
直観論理で命題Ｐの否定が証明としてＰの反証である命題であり、直観的に命題は、偽るとき、命題の否定を保有しました
直観主義的論理の意味論の幾つかのシステムは、１つが古典的ブール値を反映するけれども、ヘイティング代数を使います
特別な半順序集合は、直観論理へ意味論が提供され、直観的否定でヘイティング代数における擬似補完に対応していました
数学基礎論で構成的論理は、一般に直観論理で知られ、古典論ｐ→ ¬ ¬ ｐと ¬ ¬ ｐ→ｐの前者だけが直観論理に参照します
直観論理が実在の特性を所有する時から、また、数学的構成主義の他の形に対して都合の良い構成的論理を作り出しました
それよりむしろ、直観論理は、構成的意味論で古典論理（ブール値関数の二価）を広げる手段として見なすことが可能です
ヘイティング代数は、ブール代数の一般化を構成した特別な部分的位数集合として排中律の法則を一般に保有していません
完全ヘイティング代数がポイントレス・トポロジーの「中心」オブジェクトでした：論理システムの直観命題論理のモデル
数学で離散数学は、連続性の観念を支持しないか必要としない感覚によって基本的に離散的である数学的構造を研究します
離散数学が決定数学に言及するかもしれません、研究するオブジェクトは、「滑らか」な異なる特性の実数と対照的でした
方向でスムーズな変化をつけません、しかし、明らかな区別であり、したがって、「連続数学」における話題を排除します
離散オブジェクトは、整数で一つ一つ列挙の可能でした、より形式的に離散数学で可算集合を取り扱う数学分野の特徴です
整数の部分集合として同じ基数の集合が有理数を含むけれども、実数では無く、普遍的合意で項「離散数学」の定義でした
▢▢▢ 離散数学 ▢▢▢
離散数学で離散数学のアウトライン（輪郭）は、計算機科学の分野へ応用された故に最近の数十年の間で人気を獲得します
概念と表記が対象や問題の研究や記述に役立ち、幾つかの数学課程でビジネスに対して離散数学的な概念でカバーしました
離散数学課程は、計算機科学の専攻学生に対して概念を強調します、大学－・課程と研究報告の標準言語をリストしました
しかしながら、数学的項の完成したリストが意図されません、正しく巡り合うかもしれない技巧による典型的項の選抜です
しかし、正確ではなく、除くことで含めることの結果ではなく記述しました（連続的に変化をつける数量と関連した概念）
離散数学で離散解析は、例えば、それらが連続関数やアナログ信号の研究に対する調和解析における積分変換で示されます
離散関数やデジタル信号に対する離散変換でした、離散計量と同様により一般的な離散や有限計量空間と有限位相空間です
有限相違の計算法は、整数の間隔が数列、データソースから無限数列、リストの陽関数表示、回帰関係や相違方程式でした
離散計算法は、隣接項の間の違いを微分法に置き換え、おおよそ正確な微分方程式に使用するかそれらのライトの研究です
離散化が離散対応物へ連続的モデルと方程式を移し換えるプロセスに関わり、数値解析は、重要な例について提供しました
離散数学で連続数学の離散相似物は、別々のバージョンを所有する連続数学の概念です、個別の位相と恒等射の中心でした
例えば、離散計算法・離散確率分布・離散フーリエ変換・離散幾何学・離散微分幾何学・離散モース理論・相違方程式です
応用数学で離散モデリングが連続モデリングの離散相似物でした、離散モデリングで離散公式としてデータにぴったりです
モデリングの形として共通の方式は、回帰関係の使用でした、離散と連続データの連立方程式モデリングへ応用が可能です
混成離散と連続数学は、微分方程式による相違方程式の理論の統一であり、時間尺度計算法が相違方程式の統一状態でした
数学で応用数学は、他の領域へ数学的な知識の応用で典型的に使用される数学的技術です、技術的応用に関心を寄せました
応用数学が「公平で間違いの無い」理論的モデルから新しい「公平で間違いの無い」理論的モデルへ数学的規則の移譲です
決定論的システムは、ランダムではないシステムの将来のありさまの開発へ関与する体系的方法について数学の言及でした
連続数学の問題に対するアルゴリズムの研究である数値解析、一方、線形目的関数の最適化に対する技術の線形計画法です
最適化が特定の集合の定義された実数値関数や整数値関数について値で最大／最小となる状態について解析する数学でした
▢▢▢ 応用数学 ▢▢▢
応用数学で数理統計学は、サブジェクト（数学的対象）の理論的な基礎に関心を寄せます、確率論を統計学へ応用しました
確率変数が数理統計学で何かの変数の理想化であり、確率空間から測定できるスペースまで測定できた関数を定義できます
統計的推論は、観測誤差やサンプリング変動のようなランダム変数に影響されるデータから結論を引き出すプロセスでした
回帰分析が何かの独立変数の変化と他の独立変数の固定から従属変数（基準変数）の典型的な値の変化の理解に役立ちます
数理統計学で使用される特定の数学的手法は、数理分析、線形代数、確率論的分析、微分方程式、測定理論が含まれました
応用数学で近似理論は、より単純な関数を使用して関数を最適に近似する方法であり、実際の関数へ可能な限り近づけます
密接な関連する話題が一般化フーリエ級数による関数の近似でした、直交多項式に基づく項の級数の合計に基づく近似です
近似 ≈ ：ｘ≈ｙ は、ｘとｙの「ほぼ等しい」ことを表しました、まだ役に立つため閉じている何かの正確ではない表現です
円周率 π（円の周長の直径に対する比率）の数の近似値でピラミッドがデザインへ３＋１／７ｔｈを意識的に使用しました
ディオファントス近似は、有理数による実数の近似です、測定が近似の「品質」を何も話さず、より良い基準の比較でした
応用数学で数値解析は、解析的に解くことの不可能な数学の難問で計算機科学を駆使して数値的に求める手法へ参照します
無限でゼロに減少する関数の代数が非コンパクトな幾つかの空間でコンパクト・サポート（小さな部分集合の閉包）でした
漸近線は、特定の曲線で原点から無限に遠ざかるにしたがって限りなく近づくけれども、決して交わらず接しない直線です
ミメーシスが連続体問題の幾つかの特性を模倣する数の方式の品質でした、数値解析のゴールのおおよそ正確な連続体です
残差ｂ－ｆ（ｘ ₀ ）は、結果の誤差・エラーｘ ₀ －ｘであり、ｘを知らない場合、誤差を計算できず残差を計算できました
応用数学で数理最適化は、利用可能な選択肢の集合から（幾つかの基準で）最適な要素（元）が選択される科学的技法です
数理プログラミングであり、最適化は、特定の集合で実数値関数や整数値関数の値に関する最大／最小の状態の解析でした
あらゆる最適化問題が全ての定量的分野で発生します、解法を開発する試みは、何世紀にもわたり数学で関心を集めました
最適化問題は、実行可能な全ての解から最良の解が発見され、連続／離散の変数によって２つのカテゴリーへ分類できます
粒子群最適化は、検索空間で候補解（粒子）を改善するために目的の存在でふるまいをモデル化して問題を最適化しました
応用数学で力学系は、幾何空間で点の時間依存性の記述であり、幾何学的多様体の点で表せるベクトルのタプルで与えます
ラグランジュ関数Ｌ＝Ｔ－Ｖが動力学系／力学系として知られるシステムのダイナミクス（力学）の要約である関数でした
古典力学でラグランジアン（Ｌ）は、位置エネルギー（Ｖ）を引いたシステムの運動エネルギー（Ｔ）として定義されます
ハミルトン関数Ｈ＝Ｔ＋Ｖがシステムのエネルギーの全体に対応するオペレーター（演算子）として量子理論の基礎でした
ハミルトニアンは、「スペクトルとして可能な結末の集合」です、「一つ」がシステムのエネルギーの全体を測定しました
応用数学で数理物理学は、数学と物理学の境界面に関心を持ちます（低次元トポロジーと数理物理学の間の謎めいた関係）
「物理学の問題へ数学の応用、そして、物理的理論の応用と公式化に対する適切な数学的方法の開発」として定義しました
物理学の結果が抽象的数学で事実の証明を助けるために使用されます、数学は、物理学で行うために特有の何も持ちません
典型的定義は、ジャーナルで与えられました、現象が数学の新生面を開いたストリング理論の発展から更に重要になります
最近、ストリング理論は、代数幾何学、トポロジー、複素幾何学を含む数学分野の多くと何とか連絡することができました
数理物理学でヒルベルトの６番目の問題は、物理学の数学的論述法による全ての公理化であり、まだ未解決問題で残ります
ヒルベルトが１９００年に述べたとき、予想できません、努力は、一般相対性理論、量子力学、量子場理論へ拡張しました
物理学による公式化、公理的な研究、幾つかの公理的な基礎は、けれども、数学的な言語の完全な公理化と考えられません
確率論が、しかしながら、計量理論の仕掛けを使用して１９３０年代にコルモゴロフを通じて公理的基礎へ据えられました
超越する公理的方法の拡張を宣言する第６問題は、未解決です、実際、基礎物理学は、まだ何かの的確な記述を避けました
数学と科学で公式は、象徴的な情報か数量の一般的な関係を表します、アインシュタインのＥ＝ｍｃ ² が有名な１つでした
地球の中心の方へ落ちるリンゴの観察したふるまいを説明する理論は、ニュートンの万有引力の法則と一般相対性理論です
四次元が物理学で時間と見なされ、（特殊・一般）相対性理論で非ユークリッド幾何学の「時空」の説明に使用されました
リーマン幾何学Ｒ³ の発展は、表面の幾何学と測地的なふるまいに関して一般相対性理論（時間の遅れ）が吹き込まれます
測地線は、曲がった空間へ直線の観念の一般化であり、慣性テスト粒子の運動の記述のために一般相対性理論で有力でした
２０世紀の物理学の大きな発見は、量子力学で記述される原子スケールの物理的現象の蓋然的性質です（ある程度で確実）
波動－粒子の二元性が全ての事柄で波と粒子の特性を示した概念でした、事実で非相対論的量子力学の公式化と一致します
不確定性原理は、任意の高い正確さのため連立方程式を決意できない物理的特性の対でした、しかし、量子力学の言明です
有限性が出力を生じる有限の入力を取得する算術のような１つであり、量子力学の論理演算を一般に有限演算と考えません
自己共役作用素・演算子は、一つのことが自己の共役であり、量子力学でディラック－フォン・ノイマン公理の事実でした
オペレーター代数は、写像の合成による乗法の位相的ベクトル空間の連続線形演算子であり、直接、量子場理論へ応用です
スカラー場が空間のあらゆる点にスカラー値を同伴しました（例えば、ヒッグス場のような回転－零量子の量子場を含む）
ＣＰＴシンメトリーは、電荷・偶奇・時間の相反（０）を含む変換の対称性です（局所的量子場理論のローレンツ不変量）
超幾何学が等級可換代数のモジュールの微分幾何学であり、奇性フィールドを必然的に含む量子場理論の部分と小包でした
Ｔ－二元性は、古典記述の異なる量子場理論の対称性です、序数粒子理論よりもストリングの方向で時空が体験されました
数理物理学でネーターの第二定理は、微分方程式のシステムを持つ汎関数の行動の対称性を関係づけて明確に述べられます
物理的システムの行動Ｓがラグランジュ関数Ｌの積分であり、システムのふるまいを「最小作用の原理」で決意できました
行動は、任意の関数ｋです、それらが位数ｍへ導関数・微分値による線形性をパラメータ化した無限小に関する存在でした
無限次元のリー代数を持つならば、それからｋ微分方程式のシステムを満足させるＬの汎関数デリバティブ（微分値）です
ネーターの第二定理は、時々、物理学の現代「場の理論」の基本元素のゲージ理論（優勢な標準モデル）で使用されました
数理物理学でスペクトル・アシンメトリーは、オペレーターの固有値のスペクトル分布における非対称／非相称の参照です
数学でスペクトル非対称性がコンパクト多様体（モデルを持つ一階文の集合）に関する楕円演算子の研究のため生じました
物理学で多数に応用され、典型的にディラック演算子（平面波の形式）のスペクトルの非対称のために分数電荷の結果です
例えば、バリオン数Ｎ B の真空予想値でした、ハミルトン関数演算子のスペクトル・アシンメトリーによって与えられます
限られたクォーク・フィールドのスペクトル非対称性がカイラルバッグ（対掌性を袋に入れる）モデルの重要な特性でした
数理物理学でユニタリ・グループは、次数ｎのＵ（n）でｎ × ｎユニタリ行列（マトリックス）の群（群論）に参照します
ユニタリ群が行列乗法に関するグループ演算を持ちました、そして更に、一般的線形グループＧＬ（ｎ，Ｃ）の部分群です
シンプル・ケースｎ＝１でグループＵ（１）は、サークル群に対応しました、乗法の絶対値１による全複素数から成ります
全ユニタリ群が群（閉包・結合・恒等・可逆）のコピーで割り切れ、ｎの次数によるＵ（ｎ）で次元ｎ² の実リー群でした
ユニタリ表現理論は、複素ヒルベルト空間Ｖに関するＧの線形表現π です、強い連続（モノトーンではない）の断言でした
数理物理学で特殊ユニタリ群は、ＳＵ（ｎ）グループの参照であり、広い応用を粒子物理学の「標準モデル」で見つけます
最もシンプルなケースＳＵ（１）が自明群、一つの要素だけでした、電弱相互作用のＳＵ（２）と量子色力学のＳＵ（３）
グループＳＵ（２）は、絶対値１の四元数のグループに同型であり、そして一方、したがって、３次元球に微分同相的です
単位四元数は、その時からｓｉｇｎａｔｕｒｅ（サイン：符号数）に関する三次元空間で回転の表現のため使用できました
ＳＵ（２）から回転グループＳＯ（３）まで全写準同型を持ちます、他方、カーネル（核：圏論）が｛＋Ｉ，－Ｉ｝でした
数理物理学でＳＵ（３）は、ジェネレーターＴの表現の定義におけるＴₐ＝ λ ₐ ／２である一般線型群の部分群へ参照します
ＳＵ（３）で λ、ゲル－マン行列がＳＵ（２）のパウリ行列（２×２複素エルミート・ユニタリ行列の集合）の相似型でした
注意してください、必修としてエルミート行列（複素エントリーを持つ正方行列）のトレースレス（跡の無い）の全てです
グループ（事実で実［数］リー代数）と見なして次元８を持ち、８線形性独立ジェネレーターで幾つかの集合を持ちました
１から８まで値を取得するｉを持つｇᵢ として書くことを可能にします、可換関係［ｇ ᵢ，ｇ ⱼ］＝ｉｆⁱʲᵏｇₖ に服従しました
数理物理学でゲル－マン行列は、ＳＵ（３）を称する特別なユニタリ群の無限小ジェネレーターを表現する可能な一つです
ｉｆⁱʲᵏ ｇₖ でインデックスＫの総計がほのめかしました、特性は、選ばれ、なぜなら、それからパウリ行列を一般化します
表現で明らか、カルタン部分代数は、２つの行列 λ ₃ と λ ₈ の実係数を持つ線形結合の集合であり、互いで取り替えました
３独立ＳＵ（２）部分群｛λ₁，λ₂，ｘ｝｛λ₄，λ₅，ｙ｝｛λ₆，λ₇，ｚ｝、ｘ，ｙ，ｚが λ₃ と λ₈ の線形結合であるべきです
行列は、クォーク・モデルで計算（そして、より小さな範囲で量子色動力学）に対してとても役に立つ代表を形作りました
数理物理学で繰り込み群は、異なるスケールで観測した物理システムの変化の体系的な調査を可能にする数学的な装置です
素粒子物理学で変更されて現れるエネルギースケールとして根底にある力（相互作用）の法則における変化を反映しました
エネルギー／運動量と解答できる距離スケール（数列による有限性）が不確実性原理で効果的な共役の状態にあるでしょう
例えば、量子電気力学（ＱＥＤ）で電子は、電子、陽電子（反電子）、それから、光子によって構成されるように見えます
短い距離の電子が長い距離で観測される電子とわずかに異なる電荷の値の変化として繰り込み群の方程式で決定されました
実験物理学で深非弾性散乱は、電子、μ 中間子、ニュートリノを使用してハドロンの内側の調査に使用されるプロセスです
深非弾性散乱がクォークの納得できる最初の証拠を提供しました、その時までクォークを全く数学的現象として見なします
ラザフォード散乱（弾性）と概念的に類似するけれども、遥かに高いエネルギーで核子の成分の細かな分解能へ拡張でした
使用するレプトンの高エネルギーで標的を粉砕してクォークの閉じ込めから粒子の多くを放出するハドロン化を観測します
運動エネルギーＫを吸収する非弾性衝突は、Ｋを失わず、核子から出現した電子の軌道と速度（ジェット）を検出しました
数理物理学でヤン－ミルズ方程式と質量ギャップ問題は、素粒子物理学の「標準モデル」の基礎を構成する量子場理論です
ＳＵ（ｎ）に基づくゲージ理論のヤン－ミルズ理論が同時代の数理物理学を特徴づける厳格さの標準について満たしました
電磁力Ｕ（１）と弱い力ＳＵ（２）、そして、同様に量子色力学に基づく強い力ＳＵ（３）の統一を試みる議論の中心です
構成的な場の量子論で予測される最も小さな粒子の質量は、厳密なポジティブ（正量）について証明しなければなりません
ヤン－ミルズ理論で最も低い励起が真空状態に関して有限の質量ギャップを持たなければなりません、未解決の問題でした
数理物理学で質量ギャップは、真空でゼロ・エネルギーの定義と次の最も低いエネルギー状態の間のエネルギーの違いです
全てのエネルギー状態が平面波の粒子ならば、質量の隙間は、最も軽い粒子の質量でした、固有状態から無限へ拡大します
通常、形式数学の記述から除外され、より強い定義は、真空へ直交／直角の状態のエネルギーの下限の質量ギャップでした
ヤン－ミルズ理論が質量ギャップを持つけれども、証明しません、量子場理論で質量の隙間に「孤立した粒子」を含みます
質量ギャップよりもわずかな「エネルギーの全て」は、「一つの粒子」の状態ならば、最も軽いグルーボールの質量でした
数理物理学で壊れた対称性は、オブジェクトが回転対称性や並進／翻訳相称性を壊すとき、数学と物理学に表れる概念です
そのとき、一つは、ある角度のオブジェクトを回転できるだけでした、あるいは、一つが差異を識別できるために可能です
条件としてオブジェクトは、ラチス・ユニットの全体数としてシフトする一つではない限り、「脇道」へシフトできました
例えば、ソンブレロの上のトウダイグサの種子は、必ず跳ね飛ぶまで回転相称性から下の均衡まで落ちる壊れた対称性です
「超対称性の実在ならば、壊れた対称性でなければならない」、対応する標準モデル粒子よりも重い超素粒子を与えました
数理物理学でヒッグス・ボソンは、標準モデルによって実在することを予測されたずっしり重いスカラー素粒子の参照です
質量の仲介者と考える唯一の標準モデル粒子でした、質量ゼロのフォトンとずっしり重いＷ－Ｚボソンの違いを説明します
壊れた対称性としてヒッグス場（スピン０・電荷０）の３成分がＵ（１）とＳＵ（２）のゲージ・ボソンへ吸収されました
スカラー場の３つは、ＷボソンとＺボソンへ吸収され、残る１つのスカラー場の量子化からヒッグス粒子と質量の結果です
すなわち、「事実でヒッグス・ボソンのずっしり重い質量が量子補正の対象」、「理論の内部一貫性」の土台を崩しました
数理物理学でテラボルト－スケール超対称性は、テラボルト・スケールで閉じて存在する超相称性－離散対称性で拡大です
ＴｅＶで閉じるならば、標準モデルの階層性問題（重力と弱い力の間にあるより強い力の大きな不一致）の解を与えました
ＴｅＶ－スケール超相称性の引きつける特徴の他が電磁気・弱い相互作用・強い相互作用の高エネルギーの統一を許します
ダークマターに対する候補であり、そして一方、事実は、壊れている電弱対称性に対する自然のメカニズムを提供しました
現在の最良の粒子加速器の感度として実験から標準モデルのヒッグス粒子の他の未知の粒子と超対称性の証拠がありません
数理物理学でストリング理論は、点のような粒子がストリングの１次元オブジェクトに置き換えられる理論的な枠組みです
点は、集合論の論争から異なり、目に見えず、ストリング理論の方向に引き寄せ、離散数学が中央の証拠へ引き寄せました
テータ関数（継承の線束の形）は、外積代数に一般化するとき、量子場理論で特にストリング理論とＤブレーンで現れます
ヴィラソロ代数は、円の複素数・多項式ベクトル場の中央外延であり、複素リー代数のストリング理論で広く使用しました
デル・ペッツォ表面（立方体面）の例外は、言い換えれば、ＣＰ ¹ × ＣＰ ¹ が１０次元のストリング理論でつながれました
数理物理学で超弦理論は、小さな超対称ストリングの振動としてモデル化された素粒子と基本相互作用を説明する試みです
余分な次元の超空間がコンパクト化されるかブレーンに対応する３次元部分多様体として世界を認識できるかもしれません
Ｄブレーンは、ストリング理論の膜のようなオブジェクトであり、コンパクト化幾何学でインフレーションを暗示しました
Ｍ理論が超弦理論の一貫した全てを統一する試みであり、ブレーンと呼ばれる２次元と５次元のオブジェクトを記述します
カラビ・ヤウ多様体は、６次元時空として鏡面対称の概念につながり、Ｋ３表面（実次元４の複素次元２）の一般化でした
数理物理学で超対称性代数は、ボソン（整数倍：偶数）とフェルミオン（半整数倍：奇数）の関連を超対称に取り入れます
超対称性（ＳＵＳＹ）がスピノル（二次形式のベクトル空間）として表現を変換したオブジェクトの生成する相称性でした
スピン統計定理は、ボーズ粒子が整数スピンを持つことを現しています、一方、フェルミ粒子が半整数スピンを持ちました
超対称的世界の粒子は、あらゆるボソン（偶数）が質量を委ねる等しいパートナーフェルミオン（半整数倍）を持つだろう
ボソン場は、取り替えられます、フェルミオン場が取り替えられず、結果として奇数要素で半整数スピンを持つ必然でした
数理物理学で超共形代数（超等角代数）は、共形（等角）代数と超対称性を組み合わせた等級リー代数や超代数の参照です
幾つかのケースで超共形グループを生成しました、リー超代数が２つのユークリッド次元で何かのリー超群を生成しません
２つの次元で超共形（超等角）代数は、無限次元です、高次次元における超共形代数の既知の例である有限数の存在でした
超共形代数がボソン因数を含むリー超代数であり、そして一方、奇数のジェネレーターを通じてスピノル表現へ変換します
スピノルが平方的形（二次形式）で授けられたベクトル空間から構成する幾何学的オブジェクトでした（例えば、低と高）
数理物理学でサイバーグ二元性は、超対称ＱＣＤの異なる２つ（Ｎ＝４，Ｎ＝１）を関係づけたサイバーグによる予想です
２つの理論が同じでは無く、けれども、低エネルギーで同意され、ＳＵ（Ｎc ）でＮ＝１における超共形場の等価性でした
繰り込み群（スケール変換）で全くその通りに幾つかのＩＲ定点のためフローの流れです、同じ普遍性クラスの存在でした
超対称的な非アーベル・ゲージ理論におけるサイバーグの１９９４年のアーティクル（記事）を通じて最初に提示されます
Ｎ＝４でモントネン－オリーブ双対のＮ＝１超対称性の非アーベル・ゲージ理論の外延、アーベル理論の電磁二元性でした
数理物理学で超ポアンカレ代数は、超相称性（ボソンとフェルミオンの関連）を取り入れたポアンカレ代数による外延です
超対称性代数の例として故にリー超代数でした、超ポアンカレ代数が等級リーブラケットによるＺ₂ 等級ベクトル空間です
偶数部は、ポアンカレ代数で割り切れるリー代数、そして、奇数部がスピノルから造られ、偶数部の値で反交換関係でした
ポアンカレ代数による超対称的外延は、反交換関係の２つのワイル・スピノル（平方根システムの部分群）で割り切れます
ＱｓとＰｓの間で全ての他の反交換関係が消えます、Ｐμ は、並進（翻訳）のジェネレーターとしてσμのパウリ行列でした
応用数学で情報理論は、情報・通信を数学的に論じる学問分野であり、情報の定量化を含み、電気工学と関連した研究です
情報の量化を含む密接な関係の符号理論であり、効率的なデザインと信頼できるデータ伝送や保管方法のため使用しました
エントロピーとインフォメーションは、信号の情報とノイズの総数の測定、そして、所定の話題を知ることを可能にします
特定の情報を繰り返す長いストリングが０のエントロピー率を持ちました、それ以来、あらゆる特定の情報を予測できます
情報理論でエントロピーは、混乱状態の回避が不確実性を低下させ、信号に現存する情報とノイズの総数を測定できました
応用数学で暗号理論は、第三者に読むことのできないプロトコルの構築と分析であり、暗号のテクニックの実践と研究です
「暗号」がセキュア通信のタイプでした、何かの通信文を見ても特別な知識の無い第三者に読めない形へ変換する手法です
現代の暗号化は、数学理論と計算機科学の実践に基づきました、理論的進歩と高速計算機技術の継続的な適用の必要でした
無制限のコンピューティングパワーを使用しても壊すことのできない可能性のある情報理論的に安全なスキームの実在です
例えば、ワンタイムパッドが送信するメッセージと同じかそれ以上のサイズのワンタイム事前共有キーの使用の必要でした
応用数学で量子暗号は、量子力学的特性を利用する暗号タスクの実行であり、秘密鍵の共有を量子状態の特性で実現します
既知の例が鍵交換問題のため情報理論的に安全な解決を提供する量子鍵配送（量子もつれの応用による傍受の探知）でした
量子暗号の利点は、古典的な通信で不可能（計算量的安全性）を証明／推測される様々な暗号タスクを完了できる事実です
例えば、量子状態の符号化データを複製できません、符号化データの量子状態を変更する傍受のため盗聴を検出できました
現在、主に量子鍵配布プロトコルの開発として特定されます、対称的暗号システムは、大規模ネットワークに非効率でした
応用数学で組み合わせ理論は、有限か可算の離散構造の研究分野として集合における要素の選抜・配列・演算に携わります
２０世紀後期に一般的で強力な理論的方式が開発され、正しく所有される組み合わせ理論を数学の独立分野へ作成しました
シンメトリック（対称）多項式で結果的に生じる構造と特に対称関数のリング（環）は、組み合わせ理論で非常に重要です
離散構造による合同／配列の可能な方向の研究でした、列挙組み合わせ理論が組合せオブジェクトの数え上げに集中します
解析組み合わせ理論は、複素解析と確率理論を使用した組合せの構造に関わる数えること（列挙）であり、離散数学でした
組合せ理論でコンビネーションは、より大きなグループから置き換えと似ていない順序の重要ではないアイテムの選択です
コレクションからアイテムの選択であり、順列と異なり選択の順序が重要ではありません（離散構造の可能な合同／配列）
幾つかで組合せの数の列挙を可能にしました、集合Ｓのｋ－組み合わせは、Ｓの区別の明らかな要素ｋによる部分集合です
集合の何かがｎ要素を持つならば、「ｋ－組合せの数」は、二項係数 （ⁿk） ＝ｎ！／ｋ！（ｎ－ｋ）！と等しいことでした
Ｋ＞ｎの場合は、ゼロです、それから、集合Ｓの「全てのｋ－組み合わせの集合」が、時々、 （Sk） によって意味しました
組合せ理論でパスカルの三角形は、二項係数の三角形配列であり、パスカルに由来するけれども、数世紀前に研究されます
パスカルの三角形で表した数の三角形配列が、従来、頂上における列ｎ＝０によって開始され、それから、列挙されました
方法は、列０でナンバー１だけを書いてください、そして、後に続く二項係数（ⁿk） で三角形配列の列の要素を構成します
位置の右上の数＋左上の数として列を加えてください、数を提示できないならば、位置で右か左へゼロを代入してください
例えば、最初の列の数が０＋１＝１、けれども、第三列のナンバー１と３で第四列のナンバー４を作り出すため加えました
組合せ理論で分割は、例えば、４の分割が４，３＋１，２＋２，２＋１＋１，１＋１＋１＋１であり、数論による概念です
フェラーズ図で分割は、そのように配列できました、そして、正方形の主対角について反映するイメージが共役分割でした
正整数ｎの分割（パテーション）は、正整数の総計として記述する「ｎ」の方向です、順序が重要ならば、「合成」でした
ナンバー４は、５つの分割で表すことを可能にします、特に興味のある分割２＋２が自己共役であるために述べられました
主張：自己共役分割の数は、奇数部を持つ分割の数と同じです、証明：奇数部が自己共役の形へ真ん中で折り重なりました
組合せ理論で曲折は、直線と何度も交差する自己回避的な閉じた曲線です、直観的に多数の橋で川を渡る経路の眺めでした
平面Ｒ ² の固定方向線Ｌ、Ｒ ² の自己交差しない閉曲線の曲折、幾つかの正整数ｎとして２ｎ点でＬを横断して交差します
次数ｎの（閉じている）曲折的順列が集合｛１，２，…，２ｎ｝で定義されました、曲折的システムによって決定されます
４次の曲折的順列は、循環的表記（１８５４３６７２）が可能でした、１行表記（１２３４５６７８）として混同しません
「メアンダー」の語源は、曲がりくねった川に由来します、時間ラインの多数と交差する自己回避的な閉曲線の可能でした
組合せ理論で正整数ｎの階乗は、ｎ！によって意味され、ｎ以下の全ての正整数の積であり、０！の特例で１を定義します
例えば、５！＝５×４×３×２×１＝１２０、階乗演算が数学の異なる領域で遭遇しました（組合せ理論・代数学・数理解析）
最も基本的な「要因に属すること」は、数列へ区別のはっきりしたオブジェクトの配列ｎのため方向のｎ！がある事実です
事実は、ヒンズー学者に１２世紀の早い時期から知られました、表記法ｎ！を１８０８年にフランスの数学者が導入します
部分階乗／完全順列の関数は、！ｎ（階乗ｎ！として混同しない）の写像ｎ、時々、ｎ！が！ｎの代わりに使用されました
組合せ理論で完全順列は、！ｎによって意味され、本来の位置で現れ出る要素の何もないような集合の要素の置き換えです
サイズｎの集合に対する！ｎの数が「モンモール数」と呼ばれ、数える完全順列の問題は、１８世紀初期に熟慮されました
例えば、仮定してください、教授は、４人の学生の４つのテストを評価します、手渡されるとき、かき混ぜました（撹乱）
どれくらいの方向がかき混ぜたことで存在しますか？、テストを手渡すため可能な置き換えの２４で９の撹乱順列だけです
なぜなら、かき混ぜた４－メンバー集合のあらゆる他の置き換えで少なくとも学生の一人は、正当なテストが渡されました
組合せ理論で組み合わせの爆発は、考慮すべき事柄の組合せの結果として非常に速やかに成長する関数の効果を記述します
例えば、「階乗関数」と関係があり、組合せの爆発のパスロジカルな例としてアッカーマン関数のような関数を含めました
アッカーマン関数は、最初の再帰的関数の集合では無い計算の単純な例であり、前者が後者の厳密な部分集合で表されます
ラテン方陣は、行と列に１回だけ出現する ｎ×ｎ 配列であり、描かれたエントリーに左右されない複雑さの急速な成長です
パズル、ゲーム、コンピューティング、算術、コミュニケーションでエントリーのサイズの増大による複雑さの拡大でした
応用数学でグラフ理論は、データ構造とネットワークの研究であり、グラフが離散数学の最も重要な数学的対象の１つです
数学的構造は、あるコレクションからオブジェクトの間のペアワイズ（対の方法）関係をモデル化するため使用されました
グラフが「グラフ理論」の文脈で「頂点や節点」のコレクションと「頂点の対をつなぐ枝・辺」のコレクションの参照です
非有向かもしれないグラフの何かであり、各々の端（枝・辺）で同伴する２つの頂点の間に区別の無いことを意味しました
グラフ理論で研究するグラフ（抽象的データ構造）は、「関数のグラフ（図式）」と「グラフの他の種類」で混乱しません
グラフ理論でケーニヒスベルクの七つの橋は、それぞれの橋を一度だけ横断する街歩きの経路を数学的に考案した問題です
オイラーの１７３６年の否定的解がグラフ理論の基礎を築き、トポロジーの概念を予言する数学史で注目すべき問題でした
論理タスクを明確に指定する方法のため明示的に受け入れられません、オイラーは、問題に解決策が無いことを証明します
直面する困難は、適切な分析技術の開発、そして、数学的な厳密さによって主張を確立した後続するテストを開発しました
哲学者は、現実の抽象化やモデルよりも橋の実際の配置の証明を指摘します、数学的証明の確実性が現実へ適用できました
グラフ理論でグラフは、抽象的データ構造のこと、そして、数学からグラフ概念に道具を提供すること、そのため平均です
グラフ・データ構造が頂点や節点を称する端（枝・辺）や弧と呼ばれた特定の実体の順序対の有限集合から成り立ちました
そして、グラフ・データ構造は、各々の端（枝・辺）に幾つかの端値（象徴符号・数値属性）を結び付けるかもしれません
無向か有向のグラフ概念で現れる対の集合が無秩序な頂点の無向グラフ、あるいは、順序付きの有向グラフかもしれません
対が端（リンクやライン）や有向グラフで矢印、頂点は、グラフ構造の部分／整数索引／参照する外部実体かもしれません
グラフ理論で頂点（バーテックス）は、グラフが形作られる基本単位、頂点次数Ｇの有限、しかし、有界を必要としません
頂点は、グラフ理論の観点から特徴の無いために何かを通じて割り切ることのできないオブジェクトとして取り扱われます
しかしながら、応用によって左右される付加の構造が存在しているかもしれません、グラフは、それから起き上がりました
例えば、意味論的ネットワークは、頂点が「概念」や「オブジェクトのクラス」を表しているグラフ（書記体）の現れです
辺（端・枝）を形作る２つの頂点は、終点です、端（枝・辺）が頂点に対するインセデント（出来事・入射・投射）でした
グラフ理論でオブジェクトは、グラフの辺や頂点の集合で形作られた構造やグラフの辺と頂点に関して追加される情報です
極点が実ベクトル空間の凸集合Ｓの２点を結ぶ開いた線分に無いＳの点でした、時々、数理木の葉状ベクトルへ参照します
節点（ノード）は、グラフ理論の「頂点」の他の言葉による置き換えであり、意味が「枝分かれのポイント」を表しました
端・辺（エッジ）は、多角形の２つの隣接したゼロ次元の頂点をつなぐ線分の一次元であり、閉数列から平面を形作ります
弧（アーク）が二次元平面の微分曲線の閉じた線分の端・辺であり、円弧は、円（大円や楕円を含む）の円周の線分でした
グラフ理論で経路（パス）は、頂点の各々のような頂点の数列と次の頂点のため端の存在です、経路が無限かもしれません
けれども、有限経路は、始点と呼ばれる常に最初の頂点の存在で特徴づけられました、最後の頂点が終点として知られます
経路（道）とサイクル（巡回）は、グラフ理論の基本的な概念でした、大部分のグラフ理論テキストの冒頭で記述されます
ハミルトニアン経路は、正確に一回で各々の頂点を訪れる非有向グラフの経路であり、跡を尋ねることのできる経路でした
ハミルトニアン・サイクルが正確に一回で各々の頂点を訪れる非有向グラフのサイクルです、開始する頂点へ回帰しました
応用数学でゲーム理論は、戦略的状況の数学的ふるまいをつかむ試みです、選択の個々の成功が他の選択に左右されました
離散数学として成功が複雑な行動の最善のコースの選択です、話題に「オークション理論」と「公平な分割」を含みました
決定理論は、所定の決定の「値」「不確実性」「関連する他の問題」の同定に携わります、合理性が最適決定の結果でした
効用理論は、様々な商品とサービスの消費による「相対的な経済的満足感」や様々な財の消費の「望ましさ」を測定します
社会選択理論が投票に関する理論的な枠組みであり、投票のパズルに基づくアプローチが投票理論を通じて研究されました
戦略（ストラテジー）は、ゲームやビジネスの問題や状況で起きるかもしれない問題や状況に対する行動の完全な計画です
情報集合が現在までゲームで発生することを可能にしたプレーヤーによる現在まで観察された与えられる情報の集合でした
メタゲーム分析は、スティックホルダーに役立つ選択肢から目の前へ投げられた何かを現実にする問題状況を含む分析です
後ろ向き帰納法：最適行動方針の決定に時を遡る推理過程、動学的不整合性：時間と共に意思決定者の好みの変化する状況
最善反応が所定の他のプレーヤーの戦略を選んだ現在のプレーヤーに対して最も好ましい当面の結果を作り出すことでした
形式科学で統計学は、データの収集・分析・解釈、説明や提示に関連した数学的科学であり、データ収集の立案を含みます
統計方式がデータのコレクションをまとめるか説明するために使うこともできました、記述統計学と呼ばれている研究です
データのパターンは、観察を通じて無作為性と不確実性に対する明細の方向におけるモデル化が可能になるかもしれません
推計統計学は、研究される過程や集団の結論を引き寄せるため用いました、記述統計学と共に応用統計学から成り立ちます
統計的思索の初期応用が人口と経済データの方針に基づくありさまのニーズに思いを馳せ、故に語源「ＳＴＡＴ－」でした
▢▢▢ 統計学 ▢▢▢
統計学でベイズ統計学は、確率が出来事に対する信念の度合いを表現した確率のベイジアン解釈に基づく統計学的理論です
信念の度合いが以前の実験の結果や出来事に関する個人的信念のようなイベントに関する事前の知識に基づかもしれません
ベイズの解釈は、多くのテストの後で出来事の相対頻度の限界として確率を観測する頻度論者のような解釈と異なりました
新しいデータの取得の後に確率を更新するベイズの定理、ベイズの推定から信ずべき根拠を確率の推論の更新に使用します
ベイジアン後悔が戦略の有用性と望ましい結果の平均差として社会選択理論で選択と最良の間の社会的効用の平均差でした
統計学で計算機統計学は、統計学の数理科学に特有である計算科学であり、統計と計算機科学の間のインターフェイスです
計算機統計学と統計的計算が一般に同じ意味で使われ、目標は、従来の統計のように生データを知識へ変換することでした
非常に大きなサンプル・サイズや不均一なデータセットのため用いるコンピューター集約的な統計手法へ焦点を合わせます
他方、統計的計算は、「統計学へ計算機科学の応用」の定義からブートストラップ法やシミュレーションを容易にしました
計算機統計学がマルコフ連鎖モンテカルロ法や一般化加法モデルのような計算集約的な統計手法に言及するかもしれません
統計学で実験計画法は、変動の反映を仮定する条件で情報の変化が説明される効率的な実験の設計と結果の適切な解析です
実験は、「入力変数」や「予測変数」の１つ以上の独立変数の前提条件に関する変更を導入して結果の予測を目指しました
一般に１つ以上の独立変数の変化として「出力変数」や「応答変数」の１つ以上の従属変数の変化をもたらすと仮定します
実験の計画で外部要因に対して結果へ影響しないことを要求しました、影響を減らして一定に保つ制御変数も特定できます
主な関心が適切な独立変数・従属変数・制御変数の選択、統計的な最適条件の実施、妥当性・信頼性・再現性の確立でした
統計学でエンジニアリング統計学は、工学に必要とされたデータの分析のため統計の科学的手法を組み合わせて使用します
エンジニアリング統計で公差、コンポーネントの寸法、材料の種類、制御技術のような製造工程のデータが包括されました
エンジニアリング分析の多くの方法は、一般にヒストグラムとして表され、単なる数値ではなくデータを視覚的に示します
工学統計が数値データの計算の手段である算盤の開発へ遡り、１７世紀でデータを体系的に分析する情報処理の発達でした
最初の機械式自動シーケンス制御計算機の設計へ至ります、コンピューターの開発でデータ分析の効率的手段の開始でした
統計学で空間統計学は、位相的・幾何的・地理的な特性の使用を通じて実体の調査を試みる形式的手法の「空間分析」です
空間分析が宇宙の銀河の配置、半導体チップ製造、複雑な配線構造、より制限的な意味で地理データの分析へ適用しました
発生する問題の多くは、明確に定義されず、解決されません、最も基本的な問題が調査対象の実体の空間的位置の定義です
分析で到達した結論の偏り、歪み、誤差のような基本的な多くの問題でした（距離・場所・原子の誤り、生態学的な誤り）
地理情報システムのような技術を進歩させる地理情報科学は、空間分析に強い影響を与え、更にデータの豊富な環境でした
統計学で社会統計学は、統計測定システムを使用して社会環境の人間の行動が研究されます（因果関係を意味しない相関）
人々のグループの世論調査や取得したデータの評価、あるいは、人々と行動に関連するデータの観察・分析で実現しました
社会科学者は、サービスの品質評価、グループの行動分析、人々の欲求の決定のような多くの目的で社会統計を使用します
統計分析が社会科学の重要な特徴となり、統計学は、経済学、心理学、政治学、社会学、そして、人類学で採用されました
「定量的社会科学」は、主にベイジアン手法の因果統計モデルを組み込みます、若干の専門家が誇張した主張を感じました
統計学で統計モデルは、サンプル・データ（母集団の同様のデータ）を生成する統計的仮定を具体化した数学的モデルです
多くの場合、統計モデルが理想的な形としてデータ生成プロセスを表しました、一般に「理論の形式的表現」と見なします
統計モデルは、通常、１つか複数のランダム変数と他の非ランダム変数の間にある数学的関係として端的に指定されました
２つの出来事で一方が他方の発生確率に影響しない統計的独立です、したがって、状態で２つの確率変数に左右されました
全ての統計的仮説検定と全ての統計的推定量は、統計モデルで導き出します、より一般的に統計的推論の基礎の一部でした
統計学で統計学的理論は、統計を応用する範囲内で使用された研究デザインとデータ分析の両方の技術の基礎を提供します
基本的な理論的根拠を提供して方法論の選択の一貫した基礎が提供されました（モデリング、データの収集・要約・解釈）
統計的推論は、パラメータの推定、点推定に代わる値、統計的仮説のテストで決定され、特定の統計的仮定に左右されます
統計理論の多くが統計的推論／決定の哲学的考察から別に数理統計で構成され、確率論・効用論・最適化とより密接でした
統計手順の比較方法を提供します、所定の統計的問題の可能な最良の手順か代替手順の選択のガイダンスを提供できました
統計学でスピン統計定理は、３次元で移動する全ての粒子が整数か半整数の角運動量を持つとして量子力学で使用されます
粒子の位置は、交換しても物理的状態の変化ではありません、交換の結果として状態ベクトルの符号の変化かもしれません
スピンと統計の不可欠な要素の相対論でした、物理法則がローレンツ変換で変化せず、時間方向の相対論的理論に有効です
ローレンツ変換は、３次元の回転とブーストの異なる速度で参照フレームへ転送され、数学的に時間へ回転するようでした
数学でスピン群が特殊直交群ＳＯ（ｎ）＝ＳＯ（ｎ，Ｒ）の被覆空間です、リー群の短い完全系列（ｎ ≠ ２）の実在でした
統計学でサンプル調査（標本調査）は、母集団の特性を推定するために統計母集団から個々の部分集合を選択して調べます
統計標本が問題の母集団を表すために試みられました、２つの利点は、全体の測定よりも低コストと高速なデータ収集です
通常、調査結果の何かは、統計標本／非統計標本の何かの誤差を発生させ、ランダム・エラーや体系的バイアスを含みます
多くの場合、サンプルの割合が層化で異なるかもしれず、母集団を表すためデータを補正する適切な重みを必要としました
くじ引きの無作為抽出法は、古いアイデアです、１７８６年、ラプラスが比推定に沿ってサンプルから人口を推定しました
形式科学でシステム科学は、自然・社会・科学に関する複雑システムの性質について研究を継続した科学の学際的分野です
エジプトのピラミッドを作り出した工学の偉業が古代に遡るシステム思索の本質であり、システム理論の歴史の画期でした
考慮に入れる楔形文字やマヤ数字のような書かれた伝達の初めのシステム科学／理論であろうとなかろうと建造の帰結です
西洋合理主義の区別でＣ・Ｗ・チャーチマンは、プレ－ソクラテス哲学とヘラクレイトスのような『易経』に言及しました
ライプニッツとクザーヌスの「知ある無知」をベルタランフィがトレースします、近代システムは、相当、より複雑でした
▢▢▢ システム科学 ▢▢▢
システム科学でシステムは、統一された全体として相互に関連する実体であり、空間的／時間的な境界で輪郭が描かれます
ヒステリシスは、システムの状態（相互に影響を及ぼす要素から構成された仕組みの全体）が歴史に左右される概念でした
システム同値は、システムの構成要素やパラメータで他の異なるシステムの構成要素やパラメータとしてふるまう概念です
不安定性が、通常、結合（境界）の範囲外にある成長する出力状態か内部状態の幾つかで特徴づけたシステムの状態でした
システムについて傾向理論は、不完全で一貫しないつながりで始めます、そして、完全で一貫したシステムで終わりました
システム科学でブラックボックス理論は、刺激の入力と出力の反応から観測できる具体的オープンシステムの抽象概念です
システムでブラックボックスが内部の動作原理の未知であろうと入力・出力から機能の結果を利用できる機構の概念でした
具体的に「調査」は、すぐに明かされない特性へ焦点を合わせるため即時の観察から隠された考慮すべき要素を保持します
観察者が利用可能なデータの大部分で容易ならざる調査として内部の状況に保持され、最初の場合で無知を想定されました
システムを特徴づけるように示したブラックボックス要素の定義です、多分、想像の箱に入っている観測可能な要素でした
システム科学でカオス理論は、力学系の一部である数的誤差から予測できない複雑な様子を呈する現象を取り扱う理論です
パターン、フィードバック、繰り返し、自己相似性、フラクタル、自己組織化の基礎を複雑系のランダム性に見出しました
「カオス」が不規則性の見かけのランダム状態で初期条件に敏感な決定論的法則を通して支配した動的システムの状態です
バタフライ効果は、決定論的な非線形システムの状態にある小さな変化で後の状態へ大きな差をもたらす方法の説明でした
システム科学が部分的にカオス理論、複雑系、制御理論のようなシステム思考に基づきます、対象である混沌・複雑でした
システム科学で複雑系は、部分の特性で全体を明らかにできない特性を提示した相互に連結する部分に基づくシステムです
現在、複雑システムの１つの一般的な定義に関係するコンセンサスが存在せず、本質的にモデル化の困難なシステムでした
複雑システムの研究を強調する探究のアプローチとして「科学における全体論」は、分析的伝統（還元主義）と対照的です
「システムの複雑性」がふるまいを簡単に推測できず、必ず正確ではないモデルのためドメイン固有の文脈で解決しました
複雑適応システムは、複雑系の特例です、多様な相互と連結する要素に基づく経験から変わり、学ぶ能力で適応可能でした
システム科学でサイバネティックスは、伝達プロセス・制御メカニズム・原則フィードバックの複雑系の構造を研究します
主観性が意識・現実・真実に関連する主体・主題（サブジェクト）の展望でした、特に人の感情・信念・欲求に言及します
入力（インプット）は、システムに入り、そして、プロセスを起動／修正するとして入口か変化を意味している術語でした
出力（アウトプット）がシステムから出て行く、そして、プロセスを起動／修正するとして出口か変化を意味する術語です
創発（エマージェンス）は、部分の性質の単純な総和に止まらない性質が全体で現れ、実体の部分に無い特性の出現でした
システム科学で制御理論は、システムの変数が特定の参照に続く必要のとき、出力へ望ましい影響のため入力を操作します
基本的に制御は、開ループと閉ループ（フィードバック）であり、開ループ制御が「プロセス出力」から独立していました
閉ループ制御は、コントローラーの制御アクションがプロセス出力の値の形式的な手順からフィードバックに左右されます
入力の無い一般的な動的システムの安定性は、リアプノフ安定性で説明しました、力学系の平衡点の近くへ留まり続けます
制御システムの全てで最初に閉ループの安定性の保証の必要であり、異なる仕様を満たす可能性が制御戦略で異なりました
システム科学でオペレーションズ・リサーチは、幾つかの客観的なファンクションの最大／最小の最適化に関心を寄せます
「演算の探究」が応用数学と形式科学の学際的分野でした、演算の科学的使用は、解析法（分析方式）を更に前進させます
複雑な意思決定問題へ最適解や最適に近い解決で到着するために試みる数学的モデリング・統計解析・数学的最適化でした
頻繁に実世界オブジェクトの最大限（利益・実行・譲歩）や最小限（損失・危険・費用）の決意で携わる一般的な手法です
ＯＲの効率化の技法は、第二次世界大戦の前に軍事的努力で始まり、技術が様々な産業で問題に関与するため成長しました
システム科学でシミュレーションは、本当にある物体・状況・過程のシステムの機能に関するイミテーション（模倣）です
何かのシミュレーションの行為（模擬実験／訓練）から一般に特定の鍵となる特徴や性質を代わって表すことを伴いました
シミュレーションが実際のシステムの効果を提示します、時間の経過に伴う他の状況と行動の進路で発生を想定できました
最も重要な問題は、シミュレーションが特徴とふるまいの鍵となる関連した選択肢に関する有効な情報源の獲得を含みます
鍵となる特徴とふるまいは、シミュレーションの近似と結末にある忠実性と妥当性の想定の単純化で使われてしまいました
システム科学でバックトラッキングは、解決の候補の作成から増加して決意すると直ぐに各々の部分的候補ｃを放棄します
おそらく、ｃが妥当な解として完成できません、バックトラックは、「来た道を引き返す」「話を前に戻す」の意味でした
幾つかの計算問題のために全てか一部の解を見つける一般的なアルゴリズムです、「部分的候補解決」の概念を認めました
「多分、有効な解の完成でより速いテスト」の問題へ適用できます、例えば、制約充足問題を解く道具の「後戻り」でした
全ての候補の暴力列挙よりも一回のテストで多数の排除の可能です、「後戻り」は、論理プログラミング言語の基礎でした
システム科学で構造解析は、正確な解析法の実行で構造エンジニアが情報を決意しなければならない分析方式を参照します
構造・幾何・支持・材料のような結果は、反応・応力・置換を典型的に含み、情報が失敗の条件／状態の規準の比較でした
より先進の構造解析のエンジニアは、ダイナミックな反応性・安定性・非線形のふるまいについて審査するかもしれません
各々の方法で注目すべき制限として材料に関する力学が非常に単純な構造要素へ限定され、一般的な幾何構造を解決します
数値近似の使用は、微分方程式の近似解が一般的な分析方式であり、最も一般的に使用された数値近似の有限要素法でした
システム科学でシステム・ダイナミクスは、時を渡る複雑系の非線形のふるまいを理解できるアプローチの数値モデルです
要素（ストックとフロー、フィードバック、時間遅延）の間の因果関係に基づいた図式によるシミュレーション手法でした
問題を組み立て理解・議論する方法論であり、複雑なシステムの動的ふるまいの理解の方法としてシステム理論の側面です
因果ループ図やストック図とフロー図で例示され、モデルで固有の動的ふるまいを通じて考える不可能を発見するでしょう
ピストン運動の例がクランク接続ロッド・システムの研究を目的として動的モデリングやシミュレーションを作成しました
システム科学でシステム理論は、幾つかの結果を生み出すため相互作用するオブジェクトのグループを分析できる枠組です
システムが相互に関連する部分と相互に依存する部分の凝集した集合体でした、相乗効果や創発行動の表現を解説できます
全てのシステムは、空間と時間の制限、環境の影響、そして、構造と目的によって定義され、機能を通じて表現されました
一般にシステム科学の強調する主なテーマが全体論的な見解、システムと環境の相互作用、動的ふるまいの複雑な軌跡です
様々な「境界条件」は、システムの不安定（破壊的）をもたらすかもしれません、地球規模の懸念が問題の性質の例でした
システム科学で定常状態は、システム理論でシステムやプロセスの動作を定義する変数（状態変数）が時間で変化しません
連続時間でシステムの特性ｐの時間に関する偏導関数でゼロを意味します：全ての現在と未来のｔのために ∂ｐ／ ∂ｔ＝０
離散時間で ｐₜ－ｐₜ₋₁ ＝０でした、システムは、定常状態ならば、観察されたシステムの動作が将来にわたって継続します
確率システムで様々な状態を繰り返す一定の確率であり、多くのシステムで初期状態を脱するまで定常状態を達成しません
多くの場合、定常状態へ漸近的な接近でした、化学で定常状態が動的平衡状態と限らず、プロセスの一部を元に戻せません
形式科学で計算機科学は、情報と計算、そして、コンピュータシステムの実装と応用で実践的技術の理論的土台の研究です
アルゴリズム的プロセスを発明して情報の創造・記述・変換、そして、複雑系のモデルに適切な抽象化を公式で表しました
計算機科学やデジタルコンピュータの土台の初期がアバクスのような数に関するタスクの固定によって古代から実在します
１７世紀にシッカートは、初めの機械計算に関する設計を行い、パスカルが初めの実行できる機械的計算機を作成しました
情報を記述して変換するアルゴリズムのプロセスの組織的研究です、計算機科学の主な関心でグラフ理論を取り扱いました
▢▢▢ 計算機科学 ▢▢▢
ビットは、デジタルコンピュータで取り扱われるデータの最小単位であり、２進数字の略として２進数の１桁を意味します
ムーアの法則がトランジスタ（伝達と抵抗）の数について集積回路の指数的な増加と安価な状況であることを観測しました
オペレーティング・システムは、運営と活動の調整の責任を担当する資源を共有するシステムのソフトウェア構成要素です
ランタイムが開始から終了までコンピュータープログラムの実行の継続の言及でした（プログラム・ライフサイクル段階）
パッチ・アップデートは、データのサポートのために問題を修繕するソフトウェアです、しかし、新たな問題の発生でした
形式手法は、数学を基盤としたシステムの仕様の記述・開発・検証の技術、正当性がアルゴリズムの仕様に正しいことです
検索アルゴリズムは、入力の問題と評価された解答の出力のアルゴリズムでした、問題を解決する計算機科学の大部分です
正則表現が文字列の集合を一つの文字列で表現する方法でした、テキストの整合する一続きへ簡潔で柔軟な意味の提供です
ワイルドカード・キャラクターは、全ての文字を代用できる記号でした、多数のリテラル文字や空の文字列に解釈できます
クエリ（問い合わせ）が計算複雑性理論で１つのサインの構造からもう一つの語彙の構造までマッピング（写像）しました
計算機科学で理論計算機科学は、コンピュータを理論的に研究する学問であり、数理モデル化に基づく数学的な計算機です
理論計算機科学がコンピューティングに関連する離散数学を含みました、グラフ理論と論理でどっしりと重い線を引きます
理論的コンピューティングで含まれる数学的結果の計算に対するアルゴリズム（問題を解く方法の定式化）を研究しました
計算可能性は、原理・原則から計算できること、論理に結び付けて閉じます、一方、計算複雑性が計算に掛かる時間でした
量子コンピューティングの概念は、素因数分解を多項式時間に解くかもしれず、公開鍵暗号システムが安全ではありません
理論計算機科学でチューリングマシンは、規則の表に一致したテープの一片のシンボルを操作する抽象的機械のモデルです
「停止問題」と「所定のシンボルを印刷したテープの機械かどうか決定できる機械の存在」の質問へ否定を解答できました
計算（チューリング機械を停止できるか決定できない）の一般的特性として特に「決定問題」の計算不可能を証明できます
抽象的に機械計算のパワーに関する基本的制限を証明しました、任意の計算を表現できるけれども、停止問題に否定的です
チューリング完全が抽象的機械をシミュレートする命令システムの能力であり、プログラミング言語の背景を構成しました
計算機科学で計算の理論は、計算モデルやアルゴリズムを理論的に取り扱う数学の部分の学問として効率的な解を試みます
「コンピュータの能力と限界が何か？」、オートマトン理論と言語、計算可能性理論、計算複雑性理論の研究で問いました
抽象機械は、コンピュータ・ハードウェアの理論的モデル、そして一方、オートマトン理論のソフトウェア・システムです
計算モデルが計算・推論・証明の行為の理論的・抽象的な数理モデルでした、多項式時間は、多項式で表せる計算時間です
スーパータスクは、時間の有限で順次性の演算を定量化する無限数であり、演算の無限の無数が「ハイパータスク」でした
計算理論でオートマトン理論は、「自動人形」を意味するオートマトンによって解決の可能な抽象機械と問題を研究します
オートマトン理論が形式言語理論と密接に関連しました、オートマトンは、無限集合かもしれない形式言語の有限表現です
セミ－オートマトン（半群）は、入力だけでした、出力されません、ありさまの集合と文字体系の集合（変換の帰納）です
形式言語は、メタ論理学でシンボルを組織化する集合でした、線形有界オートマトンがチューリング機械の制限的形式です
セル・オートマトンは、無限の格子状のセルで構成した各々が有限の内部状態を持ち、時間の進行で内部状態の変化でした
計算理論で計算可能性理論は、計算可能問題を異なる計算モデルの使用を通じて解決できた構造について調査する研究です
「自然数から計算できる機能／関数の意味する何か？」「計算できない機能／関数を計算不可能の階層に分類できるか？」
質問の答えで豊かな理論へ至り、まだ、活発な研究でした（多くの場合、相対的計算可能性、約分概念、次数構造の理論）
計算可能性理論／再帰理論が計算複雑性理論／部分再帰的階層理論で対比され、不確かな間で線を引くことを可能にします
未決定問題は、全ての質問に答える「計算する関数」の無い問題としてゲーデルの定理や決定問題の可算性無限集合でした
計算理論で計算複雑性理論は、アルゴリズムの拡張性や特定の計算問題の解法の複雑性（困難さ）を数学的に取り扱います
問題の解法が相当なリソースの必要性ならば、本質的に困難と見なされました、計算機の可能と不可能の制限を見極めます
困難な問題の漸近線の研究であり、一般化は、あらゆるサイズのボード（有限問題）で動く指数関数の継続かもしれません
巡回セールスマン問題が都市の数で指数的な増加であり、非効率的アルゴリズムのＮＰ完全問題（命題論理公式の解）です
都市の概念と距離の概念は、旅の時間や費用を表現する応用で限られた資源や時間の追加制約から相当に困難な問題でした
計算機科学でアルゴリズムは、問題を解くため効率的手順の定式化の形です、効果的な有限量の空間と時間で表現しました
π アルゴリズムで円周率の任意の精度を計算、篩法アルゴリズムで整数ｘの間隔にあるスムーズ・ナンバーを発見できます
素因数分解アルゴリズムで非自明除数へ正整数の合成数を分解、ユークリッド・アルゴリズムで最大公約数を計算しました
アルゴリズムが計算、データ処理、自動推論、それから、他のタスクを実行するため計算機へ実装できる明確な仕様書です
何かのアルゴリズムのロジックをシミュレートできるチューリング機械は、コンピュータ・アルゴリズムで作成できました
計算機科学でデータ構造は、コンピュータでデータを格納して組織する特有の方向であり、能率的な使用が可能に成ります
異なる種類のデータ構造は、異なる種類の応用に適していました、そして、幾つかが特定のタスクへ非常に特殊化されます
データ・タイプは、浮動小数点、整数、ブール代数として様々なデータの１つの分類法であり、タイプの可能な言明でした
マシン－データ・タイプがデータで最も小さなアドレス可能ユニットとしてビット（選択肢の０と１）によって表されます
データ構造は、大量のデータの効率的な管理の手段であり、通常、効率的なデータ構造が効率的なアルゴリズムの鍵でした
計算機科学でコンピュータ・アーキテクチャは、計算機システムの機能、編成、実装を記述する規則と方法の設計思想です
アーキテクチャの一部の定義が特定の実装ではなく、計算機の機能とプログラミング・モデルの記述として定義されました
他の定義によって命令セットアーキテクチャー、マイクロアーキテクチャー、ロジック／システムの設計と実装を含みます
コンピュータ・アーキテクチャの思想は、計算機システムの性能、効率、費用、そして、信頼性のバランスに関係しました
より長く複雑な命令が効果的な実装のコストの上昇かもしれません、予期しない相互作用から信頼性の低下かもしれません
計算機科学でオペレーティング・システムは、計算機のオペレーション（実行）を調整できるシステム・ソフトウェアです
ハードウェアの管理、ソフトウェアのリソース（利用できる要素）、そして、プログラムへ共通のサービスを提供しました
ＯＳの種類がシングルタスクとマルチタスクを分割します、そして、シングルユーザーとマルチユーザーを／区別しました
分散ＯＳとテンプレート（定型の雛形のデータ）、組み込みＯＳ、リアルタイムＯＳ、そして、ライブラリＯＳを含みます
システムを管理するＯＳの主な目的は、ハードウェアの抽象化、リソースの管理、そして、計算機の利用効率の向上でした
計算機科学でコンピュータ・ネットワークは、ノードの間の接続（データ・リンク）を使用して互いにデータを交換します
様々な手段による効率的な通信から対人コミュニケーションを促進しました、ネットワークと計算リソースを共有できます
ネットワーク・トポロジーがネットワーク（計算機コミュニケーション）として相互接続されたノードのレイアウトでした
通信プロトコルは、ネットワークで情報を交換する一連の規則として各プロトコルがプロトコル層のサービスを活用します
ネットワーク・セキュリティは、ネットワークにあるデータへアクセスの承認であり、ネットワーク管理者が制御しました
計算機科学でコンピュータ・セキュリティは、計算機システムの不正や損傷とサービスの中断や誤用から保護を提供します
サイバーセキュリティが様々なデバイスの成長で更なる重要性であり、政治と技術の複雑さから現代世界の主な課題でした
脆弱性は、設計、実装、運用、そして、内部制御の弱点であり、悪用可能な脆弱性が攻撃や悪用の存在する不正な操作です
リソースは、脅威エージェントに悪用される可能性のある脆弱性から機密性、整合性、可用性を損なわれるかもしれません
情報セキュリティ管理システムがリスク管理の原則に基づきセキュリティ戦略で対策の管理に開発される一連の方針でした
計算機科学で分散計算は、コンポーネントをネットワーク化された異なるコンピュータに配置する分散システムの研究です
コンポーネントが共通の目標を達成するため相互に作用しました、相互にメッセージを受け渡してアクションを調整します
重要な特徴としてコンポーネントの同時実行性、グローバル・クロックの欠如、障害に独立しているコンポーネントでした
物理的に分散されたコンピュータ・ネットワークであり、メッセージを受け渡して相互に作用する自律プロセスを含みます
同様に困難な停止問題であるけれども、特別な例で有限状態マシンの特定のネットワークのデッドロックを確認できました
計算機科学で並列計算は、多くのプロセスを同時に実行する計算であり、大きな問題を小さな問題へ分けて同時に解きます
並列計算で計算タスクが、通常、独立して処理できました、完了で結果を結合する類似の幾つかのサブタスクへ分割します
複数の処理要素を同時に使用して問題を解決しました、同時に実行できるように問題を独立した部分へ分割して実現します
最適化として並列化の高速化は、線形になり、処理要素の数として２倍にすることによってランタイムを半分にできました
一部の研究者が知能を非知能部分の相互作用の産物と見なします、超並列コンピューターとして生物学的脳を主張しました
計算機科学でスーパーコンピュータは、現在の処理能力で最前線の計算機として標準が数万プロセッサーの超並列計算です
最新スーパーコンピュータは、カスタム連動による結合プロセッサーを使用する非常に調律された計算機クラスターでした
今日のスーパーコンピュータが明日の普通の計算機になる傾向です、高性能計算機のアップグレードで約３年の予想でした
膨大なプロセッサを搭載したシステムは、一般にグリッド・コンピューティングか集中型超並列システムのアプローチです
多くで単一の問題へ専念する「特別な目的に」システムが設計され、汎用性の犠牲で優れた価格／性能比を実現できました
計算機科学で量子計算は、データで演算を実行するため量子メカニカル現象（重ね合せ・もつれ）を使用する計算装置です
従来のビットと呼ばれるデータを量子計算でキュビット（１か０、あるいは、幾つかの組み合わせ）にエンコードしました
要約が量子論理ゲートと測定のネットワークです、測定の延期の可能から測定の無いネットワークの量子回路の可能でした
量子情報科学で量子もつれの概念のベル状態１：〈Φ｜Φ〉＝１は、 量子論理ゲートだけで構成される量子計算の可能です
量子情報の専用アルゴリズムの「可能・不可能」の話題と同様に停止問題のような理論的問題が計算モデルに含まれました
計算機科学でコンピュータ・グラフィックスは、計算機による画像データの表現・操作と使用される様々な技術の研究です
ほとんどの機器のディスプレイがＣＧハードウェアで駆動され、多くの特殊なハードウェアとソフトウェアを開発しました
デジタル画像でベクター画像とラスター画像の両方を含むけれども、ラスター画像（ビットマップ）のより一般的使用です
学問分野としてコンピュータ・グラフィックスは、計算手法を使用して視覚的・幾何的な情報の操作について研究しました
画像・映像の制作で使用される一般的方法です、ＣＧの開発が様々なメディアに大きな影響を与え、革命をもたらしました
計算機科学でソフトウェア工学は、ソフトウェアの開発へ工学アプローチが適用される経営科学やシステム工学の部分です
ソフトウェア要件は、必要条件の抽出、分析、仕様、検証でした、ソフトウェア設計が特性のアーキテクチャを作成します
ソフトウェア開発は、プログラミング、検証、テスト、デバッグの組み合わせであり、ソフトウェア構築の主な活動でした
ソフトウェア・テストが様々な方法で製品やサービスの品質の情報を利害関係者のため提供する経験的・技術的な調査です
ソフトウェア保守は、ソフトウェア製品の出荷の後に費用対効果の高いサポートを提供するため必要な活動へ言及しました
計算機科学でプログラミング言語は、アルゴリズムを実装するため計算機プログラミングによって使用される形式言語です
多くのプログラミング言語が命令形式によって記述されるけれども、他のプログラミング言語は、宣言形式を使用しました
記述は、通常、構文規則（形式）と意味規則のコンポーネントに分割され、そして、一部の言語が仕様文書で定義されます
情報を組織して処理するタスクの理解を容易にしました、チューリング完全であり、アルゴリズムの正確な表現の可能です
現在、数千の異なるプログラミング言語で作成されています、そして、毎年、更に多くのプログラミング言語の作成でした
計算機科学で情報科学は、情報の分析、収集、分類、操作、保管、検索、移動、普及、そして、保護へ主に関心を寄せます
そして一方、情報科学の焦点が関係する利害関係者の観点から問題を理解して必要に応じて情報や他の技術を適用しました
情報科学は、技術的決定論の応答として利用可能な資源と開発者の創造性の制限からテクノロジーの可能性が実現できます
オントロジー（存在論）は、知識がドメインの概念の集合でした、ドメインの実体の推論と記述へ使用できる情報科学です
研究と応用は、情報アクセス、情報アーキテクチャ、情報の管理・検索・探索、情報化社会、知識表現と推論の方向でした
情報科学でエントロピーと情報は、信号で提示される情報とノイズの総数の測定です、所定の話題を知ることが可能でした
元々、口の頬と舌から投げ出される言葉は、熱力学的エントロピーにおける混乱状態を回避するために不使用へ崩壊します
フェアなコインがビットの一つのエントロピーでした、しかし、フェアではないコインならば、不確実性は、低くなります
結末の次へ賭けるならば、最も頻度の高い結果を選好するでしょう、シャノン・エントロピー（情報量）で低くなりました
キャラクター（字符）を繰り返す長いストリングは、０のエントロピー率です、あらゆるキャラクターの予測が可能でした
情報科学で情報エントロピーは、データの確率的情報源によって情報を生成する平均率として確率質量関数の負の対数です
データの情報源がより低い確率値を生成するとき、イベントで高い確率値を生成するよりも多くの「情報量」を運びました
熱力学的エントロピーは、無秩序や不確実性の参照です、情報理論でエントロピーの定義が統計熱力学の定義の類似でした
日常的な実用レベルの質問に解答できる情報エントロピーと熱力学的エントロピーの間のリンクは、明らかではありません
１つの結果が確実に発生する場合の情報エントロピーのゼロです、イベントの意味ではなく、確率分布に関する情報でした
計算機科学で人工知能は、機械の知能（選ぶこと）の研究、そして、計算機で人間の認知機能を模倣する機械を実現します
システムである「知的エージェント」の研究と設計であり、環境を知覚して行動を選択する最大化が成功のチャンスでした
「知的機械を作成する科学と技術」の定義です、人工知能に関する予測は、限られた進行の究極的な超越が信じられました
未来学者のカーツワイルは、「ムーアの法則」で算定します、人工知能が２０４５年に自身を改良できる点へ届くでしょう
過去で心に抱かれた何かを遠く遥かに凌ぐシナリオは、ＳＦ作家のヴィンジによって「技術的特異点」と名付けられました
計算機科学で人間と計算機の相互作用は、計算機技術の設計と使用の研究でユーザーとコンピュータの境界面に集中します
研究者が人間と計算機の対話する方法を観察して新しい方法でユーザーとコンピュータの対話の可能な技術を設計しました
用途で限られる他の道具と異なり、多くの用途のコンピュータは、オープンエンドとして行われるダイアログを意味します
人間と計算機のインターフェースが通信のポイントでした、そして、情報の流れは、相互作用のループとして定義されます
エンドユーザー開発は、ユーザーのニーズに合わせる日常的調整から新しいアプリケーションを発明する方法の研究でした
計算機科学で情報システムは、情報の収集、処理、保存、配布のため設計された正式な社会－技術的／組織的システムです
人々や組織がデータの収集、選別、処理、作成、配信で使用するハードウェアとソフトウェアの補完的ネットワークでした
情報の取得、送信、保存、回収、操作、表示に専念する作業システム（資源を使用して実行する財やサービスの生産）です
データ・システムと活動システムで相互に関連しました、データは、社会的記憶として処理される通信システムの形式です
大規模な組織のビジネスで情報技術部門を通じて一連の方法論とプロセスの使用から情報システムを開発・使用できました
クリエイティブ・コモンズ・ライセンスに準拠した翻案作品の共有されるアーティクルです、編集された複製に関して変更しました。
形式（現実）
興味深い時代の意味のある形式の普遍的条件